Source de equ2

$Fichier TeX$
\exo{Second ordre, avec une exponentielle}

On considère l'équation différentielle
$$
   y'' + 4y' + 3y = e^{-2x}
\leqno
   (E)
$$
dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie
et deux fois dérivable sur $\rset$.

\itemnum Résoudre sur $\rset$ l'équation $$
   y'' + 4y' + 3y = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Déterminer une solution particulière de $(E)$ de la forme $A
e^{-2x}$ où $A$ est un réel que l'on déterminera.

\itemnum En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$ qui vérifie
les conditions initiales 
$$
   f (0) = 0
      \qquad {\rm et} \qquad
   f' (0) = 0.
$$

\finexo

\corrige{}

\itemnum L'équation caractéristique de $(E_0)$ est $r^2 + 4r + 3 =
      0$, et elle possède deux racines réelles~: $r_1 = -1$ et $r_2 =
      -3$. L'ensemble des solutions de $(E_0)$ est donc constitué de
      toutes les fonctions pouvant s'écrire sous la forme  
$$
   \dresultat{y (x) = A e^{-x} + B e^{-3x}}
      \qquad 
   \hbox{où $A$ et $B$ sont des constantes réelles quelconques.}
$$

\itemnum Si $h (x) = A e^{-2x}$, alors $h' (x) = -2A e^{-2x}$ et $h''
      (x) = 4A e^{-2x}$. On aura alors $h'' + 4h' +3h = -A
      e^{-2x}$. Pour que $h$ soit solution de $(E)$, il faut prendre
      $A = -1$. La solution particulière cherchée est donc la fonction
      $h$ définie sur $\rset$ par \mresultat{h (x) = -e^{-2x}}.

\itemnum L'ensemble des solutions de $(E)$ est constitué de toutes les
      fonctions pouvant s'écrire sous la forme  
$$
   \dresultat{y (x) = -e^{-2x} + A e^{-x} + B e^{-3x}}
$$
où $A$ et $B$ sont des constantes réelles quelconques.

\itemnum Si $f$ est une solution de $(E)$, alors elle admet une
      écriture comme ci-dessus, et on aura $f' (x) = 2e^{-2x} - A
      e^{-x} - 3B e^{-3x}$. Finalement, on aura donc
$$
   f (0) = -1 + A + B
      \qquad {\rm et} \qquad
   f' (0) = 2 - A - 3B.
$$
Pour que $f$ vérifie les conditions initiales imposées, $A$ et $B$
doivent vérifier le système
$$
   \cases{
      A + B = 1
   \cr
      A + 3B = 2
   \cr}
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   \cases{
      B = 1/2
   \cr
      A = 1/2
   \cr}
$$
d'où la solution cherchée \dresultat{f (x) = -e^{-2x} + {1\over2}
e^{-x} - {1\over2} e^{-3x}} 

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824203 - 3 décembre 2008)