Source de equ2

$Fichier TeX$
\exo {Mouvement amorti}

\let \partie \llappartie

\centerline {\sl Les deux parties peuvent se traiter indépendamment l'une de l'autre.}

\partie {A}
\vskip -5mm
Lors de l'étude d'un mouvement amorti, on étudie l'équation
différentielle~:
$$
   y'' + 4y' + 4y = 2,
\leqno
   (E)
$$
où $y$ est une fonction de $t$, définie et 2~fois dérivable sur $\rset
$.

\itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle
$$
   y'' + 4y' + 4y = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Montrer qu'il existe une fonction constante solution de
$(E)$.

\itemnum Donner l'ensemble des solutions de $(E)$.

\partie {B}
\vskip -5mm
On étudie à présent la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty [$ par
$$
   f (t) = {1\over 2} + \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}.
$$

\itemitemalphnum Déterminer $f(0)$.

\itemitemalph Déterminer $\displaystyle {\lim _{t\to +\infty } f
(t)}$. (On rappelle que $\displaystyle {\lim _{t\to +\infty } {x\over
e^x} = 0}$.)

\itemitemalphnum Déterminer la dérivée $f' (t)$ de la fonction $f$.

\itemitemalph \' Etudier le signe de la dérivée $f' (t)$.

\itemitemalph Déduire des questions précédentes le tableau de
variation de la fonction $f$.

\itemitemalphnum Montrer que le développement limité à l'ordre 3 en 0
de la fonction $f$ est~:
$$
   f (t) =  2t -3t^2 + {8\over 3}t^3 + t^3\epsilon (t) 
         \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0   
$$


\itemitemalph En déduire l'équation de la tangente à la courbe de $f$
au point d'abscisse~0.

\itemnum Soit $g$ la fonction définie sur $[0, +\infty [$ par
$$
   g (t) = f (t)- {1\over 2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   g (t) = \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}.
$$

\item {} Calculer, en utilisant une intégration par parties,
      l'intégrale
$$
   I = \int _0^2 g (t) \, dt.
$$

\finexo

\corrige {}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
\vskip -5mm
\itemnum \` A résoudre l'équation
$$
   y'' + 4y' + 4y = 0.
\leqno
   (E_0)
$$
L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est $r^2 + 4r + 4 = 0$, de
discriminant $\Delta = 0$ et de racine double $r = -2$. On en déduit
que les solutions de $(E_0)$ sont toutes les fonctions $y$ ayant une
écriture du type
$$
   \dresultat {y (t) = (At+B) e^{-2t} }
      \qquad \hbox {où $A$, $B$ sont des constantes réelles quelconques.}
$$

\itemnum Soit la fonction constante $g$ définie par $g (x) = a$ pour
      une certaine constante réelle $a$ inconnue. On aura alors $g'
      (x) = 0 = g'' (x)$ pour tout $x$. En écrivant maintenant que $g$
      vérifie l'équation $(E)$, il vient alors 
$$
   0 + 4\times 0 + 4a = 2,
$$
d'où $a=2$ et la fonction $g$ définie par \tresultat {$g (x) = {1\over 2}$ est
solution particulière de $(E)$}.

\itemnum On a immédiatement la solution générale de $(E)$ en
additionant la solution générale de $(E_0)$ avec une solution
particulière de $(E)$. Ici on obtient \mresultat {y (t) = {1\over 2} + (At+B)
e^{-2t}}, où $A$, $B$ sont des constantes réelles quelconques.

\bigskip

\partie {B}
\vskip -7mm
Soit donc la fonction $f$ sur $[0, +\infty [$ définie par
$\displaystyle {f (t) = {1\over 2} + \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}}$.

\itemnum On trouve \dresultat {f (0) = 0}. Quand à la limite, il vient
$$
   \lim _{t\to +\infty } f (t) 
      = \lim _{t\to +\infty } {1\over 2} + t e^{-2t} - {1\over 2}
      e^{-2t} 
      = \dresultat {{1\over 2} = \lim _{t\to +\infty } f (t)}
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   \cases {
      \lim _{t\to +\infty } e^{-t} = 0
   \cr
      \lim _{t\to +\infty } te^{-t} = 0
   \cr }
$$

\itemalphnum On trouve \dresultat {f' (t) = 2 (1-t) e^{-2t}}.

\itemalph \alph \ D'où le tableau
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      t&& 0&&& 1&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      1-t&& && +& 0& -
   \cr
   \noalign {\hrule }
      e^{-2t}&& && +& \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      f' (x)&& && +& 0& -
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&&
      &
      \down {$0$}&
      \brightuuparrow & \buup {${1\over 2} (1+e^{-2}) \approx 0, 57$}& 
      \brightddownarrow & \down {$1/2$}
   \cr
}}
}$$

\itemalphnum On sait que l'on a
$$
   e^u = 1 + u + {u^2\over 2} + {u^3\over 6} + u^3\epsilon (u) 
      \qquad {\rm avec} \qquad 
   \lim _{u\to 0} \epsilon (u) = 0
$$
Par substitution, en posant $u = -2t$, on obtient alors
$$
   e^{-2t} = 1 -2t + 2t^2 - {4\over 3}t^3 + t^3\epsilon (t) 
      \qquad {\rm avec} \qquad 
   \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0   
$$
En multipliant alors le développement obtenu par le polynôme
$(t-{1\over 2})$, il vient
$$\eqalign {
   \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}
      &= \left( t - {1\over 2}\right) \left( 1 -2t + 2t^2 - {4\over 3}t^3\right) + t^3\epsilon (t) 
         \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0   
\cr
      &=  t -2t^2 + 2t^3 - {1\over 2} + t - t^2 + {2\over 3}t^3 + t^3\epsilon (t) 
         \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0   
\cr }
$$
Soit finalement 
$$
   \dresultat {f (t) =  2t -3t^2 + {8\over 3}t^3 + t^3\epsilon (t) }
         \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0   
$$

\itemalph On en déduit immédiatement une équation de la tangente à la
         courbe de $f$ au point d'abscisse~0~: \dresultat {y = 2t}

\itemnum En intégrant l'intégrale demandée par parties, il vient
$$\eqalign {
   I &= \int _0^2 \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t} \, dt
      \qquad \hbox {de la forme} \qquad
   \int V U'
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      U' = e^{-2t} &\quad $U = -{1\over 2} e^{-2t}$
   \cr
      V = t - {1\over 2} &\quad $V' = 1$
   \cr }
\cr
   &= \Big[ - {1\over 2}\left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}\Big] _0^2
   + {1\over 2} \int _0^2 e^{-2t} \, dt
\cr
   &= - {1\over 2} \times {3\over 2}e^{-4} - {1\over 4} + {1\over 2}
   \Big[-{1\over 2} e^{-2t}\Big] _0^2 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {I = -e^{-4}}
\cr
}$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 3 mai 2005 (0.08s - 3824201 - 3 décembre 2008)