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\exo {\' Equation différentielle d'ordre 2}

On considère l'équation différentielle
$$
   y'' + 2 y' + 17y = 34.
\leqno
   (E)
$$

\itemnum Déterminer une fonction constante $g$ solution particulière
de l'équation $(E)$. 

\itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle
$$
   y'' + 2 y' + 17y = 0.
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Déduire des questions précédentes la solution générale de
l'équation $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution $f$ qui vérifie les conditions
initiales
$$
   f (0) = 3
      \qquad {\rm et} \qquad
   f' (0) = -1.
$$

\finexo

\corrige 

\itemnum Soit $g$ une fonction constante. On aura alors 
$$
   g' = 0
      \qquad {\rm et} \qquad 
   g'' = 0
      \qquad {\rm d'où} \qquad 
   g'' + 2 g' + 17g = 17g.
$$
Pour que $g$ soit solution de l'équation différentielle $(E)$, il nous
faut donc avoir $17g = 34$, autrement dit $17 g (x) = 34$ pour tout
réel $x$. On en déduit que la fonction constante $g$ définie pour tout
$x$ réel par \dresultat {g (x) = 2} est une solution particulière de
l'équation $(E)$.

\itemnum L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est
$$
   r^2 + 2 r + 17 = 0.
$$
Le calcul du discriminant nous donne $\Delta = -64 = (8i)^2$ d'où les
deux solutions complexes conjuguées de l'équation caractéristique~: 
$$
   z_1 = {-2-8i\over 2} = -1-4i
      \qquad {\rm et} \qquad
   z_2 = -1+4i.
$$
On en déduit que la solution générale de l'équation sans second membre
$(E_0)$ est 
$$\dresultat {
   y_0 (x) = (A\cos 4x + B\sin 4x) e^{-x}
      \qquad
   \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}.
}$$

\itemnum On en déduit alors que la solution générale de l'équation 
$(E)$ est 
$$\dresultat {
   y_1 (x) = 2 + (A\cos 4x + B\sin 4x) e^{-x}
      \qquad
   \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}.
}$$

\itemnum Soit $f$ l'une des solutions précédentes. On aura alors
$$\displaylines {
   f (x) = 2 + (A\cos 4x + B\sin 4x) e^{-x}
\cr
   f' (x) = (- 4A\sin 4x + 4B\cos 4x -A\cos 4x - B\sin 4x) e^{-x}
\cr
}$$
d'où, en utilisant les conditions initiales, 
$$
   f (0) = 2 + A = 3
      \qquad {\rm et} \qquad
   f' (0) = 4B -A = -1.
$$
On en déduit sans peine $(A, B) = (1, 0)$, d'où l'unique solution de
$(E)$ vérifiant les conditions initiales données~: \dresultat {f (x) =
2 + e^{-x} \cos 4x}.

\fincorrige

 

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