Source de equ2_033.tex
\exo {Second ordre, étude locale d'une fonction et intégration}
\centerline {\bf Les trois parties de cet exercice peuvent être
traitées de façon indépendante.}
\let \partie \centerpartie
\partie {A - Résolution d'une équation différentielle}
On considère l'équation différentielle
$$
y'' - 3y' - 4y = -5e^{-x}
\leqno (E)
$$
où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et deux fois
dérivable sur $\rset $, $y'$ la fonction dérivée de $y$, et $y''$ sa
fonction dérivée seconde.
\itemnum Déterminer les solutions sur $\rset $ de l'équation
différentielle~:
$$
y'' - 3y' - 4y = 0
\leqno (E_0)
$$
\itemnum Soit $h$ la fonction définie sur $\rset $ par~: \qquad
$h (x) = xe^{-x}$.
\item {} Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière
de l'équation différentielle $(E)$.
\itemnum En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle $(E)$.
\itemnum Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie
les conditions initiales $f (0) = 2$ et $f' (0) = -1$.
\partie {B - \' Etude locale d'une fonction}
La courbe $C$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un
repère orthonormal $(O; \vec \imath , \vec \jmath \/)$, de la fonction
$f$ définie sur $\rset $ par $f (x) = (x + 2) e^{-x}$.
\def \epspath {
/home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}
$$
\superboxepsillustrate {equ2_033.ps}
$$
\itemnum Démontrer que le développement limité à l'ordre $3$, au
voisinage de $0$, de la fonction $f$ est
$$
f (x) = 2 - x + {x^3\over 6} + x^3 \varepsilon (x)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{x \to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$
\itemnum Déduire du {\bf 1.} une équation de la tangente $T$ à la
courbe $C$ au point d'abscisse $0$.
\itemnum \' Etudier la position relative de $C$ et $T$ au voisinage du
point d'abscisse $0$.
\partie {C - Calcul intégral}
On note
$\displaystyle {
I = \int _0^{0,6} f (x) \, dx
}$.
\itemnum \` A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I =
3 - 3, 6 e^{-0, 6}$.
\itemnum Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I$.
\itemnum Donner une interprétation graphique du nombre $I$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3824140 - 3 décembre 2008)
