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\exo {\' Etude d'une fonction exponentielle}

On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par 
$$
   f (x) = - 3 e^{2x} + 3 e^x  - 7.
$$

\itemnum \' Etudier les limites de la fonction $f$ en $+\infty $ et en
$-\infty $.

\itemnum \' Etudier les variations de la fonction $f$. Récapituler les
résultats dans un tableau.

\finexo

\corrige 

\itemnum $\underline {\hbox {En $-\infty $}}$~: 
On a \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = -7} puisque
$$
   f (x) = - 3 e^{2x} + 3 e^x  - 7
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   \lim _{x\to \infty } -3e^{2x} = 0
      \quad {\rm et} \quad
   \lim _{x\to \infty } 3e^{x} = 0
$$


\item {}  $\underline {\hbox {En $+\infty $}}$~:  Là c'est plus
      difficile  puisque l'écriture proposée pour $f (x)$ donne {\sl a
      priori\/} une forme indéterminée $\infty - \infty $. On
      factorise alors par le terme \og dominant\fg \ et il vient~:
$$
   f (x) 
      =
   e^{2x} \left( - 3 + 3 e^{-x}  - 7e^{-2x}\right)
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {   \lim _{x\to \infty } f (x) = -\infty }
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   \cases {
      \lim _{+\infty } e^{-x} = \lim _{+\infty } e^{-2x} = 0
   \cr
      \lim _{+\infty } e^{2x} = +\infty 
   \cr }
$$

\itemnum On trouve \dresultat {f (x) = -6e^{2x} +3e^x = e^x (-6e^x +
      3)}, du signe de $-6e^x +3$ pûisque $e^x$ est toujours positif
        (strictement). D'où le tableau récapitulatif suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && -\ln 2&& +\infty 
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& & +& 0& -
   \cr   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \down{$-7$}& 
      \brightuuparrow & \buup {$-6, 25$}&
      \brightddownarrow & \down {$-\infty $}
   \cr
}}
}$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 17 décembre 2002 (0.08s - 3824193 - 3 décembre 2008)