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\exo {\' Etude d'une fonction exponentielle}
\let \partie \centerpartie
\partie {A -- \' Etude d'une fonction auxiliaire}
On considère la fonction $g$ définie sur $\rset $ par
$$
g (x) = (x^2 + 2x - 1) e^{-x} + 1.
$$
\itemnum Calculer $g' (x)$ et montrer que $g' (x)$ et $(3-x^2)$ ont le
même signe.
\itemnum En déduire le tableau de variation de $g$.
\itemitemalphnum Montrer que l'équation $g (x) = 0$ admet deux
solutions dans $\rset $.
\itemitem {} Vérifier que $g (0) = 0$. On note $\alpha $ la solution
non nulle.
\itemitemalph Prouver que
$$
-2, 4 < \alpha < -2, 3.
$$
\itemnum Déduire des questions précédentes le signe de $g (x)$ suivant
les valeurs de $x$.
\partie {B -- \' Etude de la fonction $f$}
On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par
$$
f (x) = x - (x^2 + 4x + 3) e^{-x}.
$$
On désigne par $C_f$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à
un repère orthonormal $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$.
\itemitemalphnum Montrer que, pour tout $x$ réel, on a
$$
f' (x) = g (x).
$$
\itemitemalph Dresser le tableau de variation de la fonction $f$
(l'étude des limites n'est pas demandée).
\itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à $C_f$ au point
d'abscisse $0$.
\itemitemnum On note $D$ la droite d'équation $y = x$.
\itemitemalph Montrer que la droite $D$ et la courbe $C_f$ se coupent
en deux points $A$ et $B$ dont on donnera les coordonnées.
\itemitemalph \' Etudier les positions relatives de la droite $D$ et
de la courbe $C_f$.
\itemnum Construire les droites $T$ et $D$ ainsi que la courbe $C_f$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 21 décembre 2003 (0.08s - 3824172 - 3 décembre 2008)
