Source de cours_06.tex
\paragraphe{Intégration par changement de variable}
\everymath = {\displaystyle}
\sparagraphe{Changement de variable du type $x \mapsto x + \beta$}
\exemple{}
On se propose de calculer l'intégrale $I = \int_{-3}^{-2} (x+3)^2 \,
dx$.
On peut faire le calcul directement en remarquant que ${1\over3}
(x+3)^3$ est une primitive de $(x+3)^2$ sur $[-3, -2]$.
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/integr/}
\epsfxsize = 70mm
\rightsuperboxepsillustrate{cours_06.ps}{-10}
On peut également remarquer que, graphiquement, $I$ re\-pré\-sen\-te une
mesure de l'aire comprise entre l'axe $0x$ et la courbe $C_1$
d'équation $y=(x+3)^2$ sur l'intervalle $[-3, -2]$.
Or cette aire est la même que celle qui est comprise entre l'axe $Ox$
et la courbe $C_2$ d'équation $y=x^2$ sur l'intervalle $[0, 1]$.
($C_2$ est déduite de $C_1$ par une translation de vecteur $3 \vec \imath$.)
On en déduit que
$$
I = \int_{-3}^{-2} (x+3)^2 \, dx
= \int_0^1 x^2 \, dx
= \left[ {1\over3} x^3 \right]_0^1
= {1\over3}
$$
\finexemple
En fait, cet exemple se généralise, et on a le
\assert Théorème (admis).
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ du type $I = [a,
b+\beta]$ où $a$, $b$ et $\beta \in \rset$ avec $a\leq b$.
Alors
$$
\dresultat{\int_a^b f (x+\beta) \, dx = \int_{a+\beta}^{b+\beta} f
(x) \, dx}
$$
\endassert
%\exoskip = \bigskip
\sparagraphe{Changement de variable du type $x \mapsto \alpha x$
lorsque $\alpha \neq0$}
En tenant un raisonnement du même type, mais avec une multiplication
de l'échelle sur l'axe des ordonnées, on montre le
\assert Théorème (admis).
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $\alpha a, \alpha b$,
où $\alpha \neq 0$. Alors
$$
\dresultat{\int_a^b f (\alpha x) \, dx = {1\over\alpha}
\int_{\alpha a}^{\alpha b}
f (x) \, dx}
$$
\endassert
\exemple{}
On se propose de calculer $I = \int_0^1 e^{2x} \, dx$.
On a
$
I = \int_0^1 e^{2x} \, dx
= {1 \over 2} \int_0^2 e^x \, dx
= \left[ e^x \right]_0^2
= {1 \over 2} (e^2 - 1)
$
\finexemple
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3824050 - 3 décembre 2008)
