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\sparagraphe{Cas général~: changement de variable du type $x \mapsto
\varphi (x)$}

\assert Théorème (formule du changement de variable).

Soit $\Psi$ une fonction numérique dérivable sur un intervalle $I =
[a, b]$ dont la dérivée est continue sur $I$. Pour toute fonction $f$
définie et continue sur l'intervalle $f (I)$, on a la formule, dite du
\og \sl changement de variable\fg~:
$$
\dresultat{
   \int_{\Psi (a)}^{\Psi (b)} f (t) \, dt
      =
      \int_a^b f \left[ \Psi (t)\right] \Psi' (t) \, dt.
}$$

\endassert

Appliquer cette formule revient à changer la variable
d'intégration. C'est cette formule qui a conduit à l'utilisation du
symbole (plûtot compliqué) $\int_a^b f (x) \, dx$ pour désigner
l'intégrale par rapport à la variable~$x$ de la fonction~$f$ sur
l'intervalle~$[a, b]$.

\exemple{}

Calculer l'intégrale 
$\displaystyle
   \int_1^4 {dt \over 1 + \sqrt{t}} 
$ en utilisant le changement de variable $\varphi :t \mapsto \sqrt t$.

En fait ici, par rapport à la formule précitée, $\varphi$ désigne la
fonction $\Psi^{-1}$, réciproque sur l'intervalle considéré de la
fonction $\Psi : x \mapsto x^2$. 

\item{$\bullet$} {\sl On calcule les nouvelles bornes d'intégration.}
On pose $x = \sqrt t$. La fonction $\varphi :t \mapsto \sqrt t$ est
continue et strictement croissante sur $[1, 4]$, avec
$$
   \varphi (1) = 1
      \qquad {\rm et} \qquad
   \varphi (4) = 2
$$
donc, lorsque $t$ varie entre $1$ et $4$, $x$ varie entre $1$ et $2$.

\item{$\bullet$} {\sl On exprime l'expression à intégrer par rapport à
la nouvelle variable.} On a
$$
   {1 \over 1 + \sqrt{t}} = {1 \over 1+x}
      \qquad {\rm car} \quad \sqrt{t} = x.
$$
La fonction $x \mapsto {1 \over 1+x}$ est continue, donc intégrable,
sur $[1, 2]$.

\item{$\bullet$} {\sl On exprime l'élément différentiel en fonction de
la nouvelle variable et de son élément différentiel.}
On a $x = \varphi (t)$ et $\varphi' (t) = {1 \over 2 \sqrt{t}}$. En
utilisant les notations différentielles, on a donc
$$
%   \varphi' (t) = {dx \over dt} 
   dx = {dt \over 2 \sqrt{t}}
      \qquad {\rm d'où} \qquad 
   dt = 2 \sqrt{t} \, dx = 2 x \, dx
      \qquad {\rm car} \quad \sqrt{t} = x.
$$

\item{$\bullet$} Il vient alors
$$
   \int_1^4 {dt \over 1 + \sqrt{t}} 
      = \int_1^2 {1 \over 1 + x} \times 2x \, dx 
      = \int_1^2 {2x \over 1 + x} \, dx
$$
(On a utilisé la formule du changement de variable avec $\Psi =
\varphi^{-1} : t \mapsto t^2$.)
Reste alors à remarquer que, pour tout élément $x$ de $[1, 2]$, on a
${x \over 1+x} = 1 - {1 \over 1+x}$ pour obtenir
$$
   2 \int_1^2 {x \over 1 + x} \, dx
      = 2 \int_1^2 \, dx - 2\int_1^2 {dx \over 1 + x}
      = 2 [x]_1^2 - 2 [\ln (1+x)]_1^2
      = 2 (1 + \ln 2 - \ln 3).
$$

\finexemple
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824087 - 3 décembre 2008)