Source de frct_002.tex
\exo{Pôles simples dans $\rset$}
On se propose de calculer l'intégrale
$$
I = \int_0^1 {3t - 14 \over t^2 - t - 6} \, dt.
$$
\itemitemalphnum Résoudre dans $\rset$ l'équation $t^2 - t - 6 = 0$.
\itemitemalph En déduire une factorisation de $t^2 - t - 6$ sous la
forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\itemnum Déterminer deux constantes $a$ et $b$ telles que, pour tout
réel $t \in [0, 1]$, on ait
$$
{3t - 14 \over t^2 - t - 6} = {a \over t+2} + {b \over t-3}.
$$
\itemnum Après avoir justifié que la fonction
$\displaystyle{
t \mapsto {3t - 14 \over t^2 - t - 6}
}$ est continue sur $[0, 1]$, calculer la valeur exacte de l'intégrale
$I$.
\remarque
Les nombres $-2$ et $3$ annulant le dénominateur sont appelés {\bf
pôles} de la fraction rationnelle. Ils sont dits {\bf simples} car
la factorisation du dénominateur où ils interviennent ne comporte
que des polynômes du premier degré.
\hfill \break
%
Observez la forme de la décomposition de la fraction rationnelle
dans le {\bf 2.}, c'est elle qui permet l'intégration de la
fraction. Cette forme n'est pas nécessairement donnée dans les
énoncés de BTS.
\finremarque
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.09s - 3824096 - 3 décembre 2008)
