Source de frct_003.tex
\exo{Partie entière d'une fraction rationnelle}
On se propose de calculer l'intégrale
$$
J = \int_0^1 {2x^2 + x + 1 \over x+3} \, fdx.
$$
\itemnum Déterminer trois constantes réelles $a$, $b$ et $c$ telles
que, pour tout $x \in [0, 1]$,
$$
{2x^2 + x + 1 \over x+3} = ax + b + {c \over x+3} .
$$
\itemnum Après avoir justifié que la fonction
$\displaystyle{
t \mapsto {2x^2 + x + 1 \over x+3}
}$ est continue sur $[0, 1]$, calculer la valeur exacte de l'intégrale
$J$.
\remarque
Ici, le numérateur de la fraction rationnelle à intégrer possède un
degré supérieur à celui du dénominateur, d'où la présence d'un
polynôme $ax+b$ dans la décomposition du {\bf 1.}~: c'est la {\bf
partie entière} de la fraction rationnelle. Ici cette fraction n'a
qu'un seul pôle~: $-3$, et il est simple.
\finremarque
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824043 - 3 décembre 2008)
