Source de ineg_001.tex
\exo{Obtention de développements limités par intégrations d'inégalités}
On se propose ici d'encadrer les fonctions sinus et cosinus par des
fonctions polynômes. On procédera par des intégrations successives
d'inégalités
\itemnum Montrer que pour tout réel $x \geq 0$, on a l'inégalité
$-x \leq \sin x \leq x$.
\itemnum Montrer successivement que pour tout $x \geq 0$,
\itemitemalph \qquad
$\displaystyle{
1 - {x^2 \over 2} \leq \cos x \leq 1
}$.
\itemitemalph \qquad
$\displaystyle{
x - {x^3 \over 6 } \leq \sin x \leq x
}$.
\itemitemalph \qquad
$\displaystyle{
1 - {x^2 \over 2} \leq \cos x \leq 1 - {x^2 \over 2} + {x^4 \over 24}
}$.
\itemitemalph \qquad
$\displaystyle{
x - {x^3 \over 6 } \leq \sin x \leq x - {x^3 \over 6 }
+ {x^5 \over 120}
}$.
\itemitemalphnum Montrer que les inégalités {\sl a\/}) et {\sl c\/})
restent vraies lorsque $x$ est négatif.
\itemitemalph Quels encadrements de $\sin x$ peut-on déduire des
questions précédentes lorsque $x$ est négatif~?
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824064 - 3 décembre 2008)
