Source de trig_001.tex
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Fichier TeX 
\exo{Utilisation du logarithme pour l'intégration}

{\sl Le but de cet exercice est de calculer l'intégrale \qquad
$\displaystyle
   B = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} 
      {\sin x \over \sin x - \cos x} \, dx.
$}

\itemnum Calculer la dérivée de la fonction numérique $f$ 
définie sur l'intervalle $[{\pi/2}; {3\pi/4}]$ par
$$
   f(x) = \ln (\sin x - \cos x)
$$ 
où $\ln$ désigne le logarithme népérien. (On admettra que $f$ est bien
définie sur cet intervalle.)

\itemnum On pose~:
$$
   A = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} 
      {\cos x \over \sin x - \cos x} \, dx,
      \qquad {\rm et} \qquad
   B = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} 
      {\sin x \over \sin x - \cos x} \, dx.
$$

\itemitemalph Calculer $B-A$ et $B+A$.

\itemitemalph En déduire la valeur de $A$ et celle de $B$.

\finexo

\corrige{}

\itemnum On trouve \dresultat{f' (x) = {\cos x + \sin x \over \sin x - \cos
      x}}.

\itemalphnum En utilisant la linéarité (les intégrales ont les mêmes
bornes), on obtient
$$\displaylines{
   \bullet \quad
   B - A = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} {\sin x - \cos x\over \sin x - \cos x} \, dx
      = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} \, dx
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{B - A = {\pi \over4}}
\cr %      \qquad {\rm et} \qquad
   \bullet \quad
   B + A = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} f' (x) \, dx 
      = \Big[ f (x) \Big]_{\pi/2}^{3\pi/4} 
      = \ln \left( {\sqrt2 \over2} + {\sqrt2 \over2}\right)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{B + A = \ln \left( \sqrt 2\right) = {1\over2} \ln 2}
}$$

\itemitemalph En résolvant le système de deux équations obtenu, on
      trouve
$$
   \dresultat{A = -{\pi \over8} + {\ln 2 \over4}}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat{B = {\pi \over8} + {\ln 2 \over4}}.
$$

\fincorrige

 

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