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\exo {Des pièces en série\dots , {\sl bts mai, session 1997}}

Une entreprise fabrique en série des pièces dont le diamètre, mesuré
en millimètres, définit une variable aléatoire $D$. 

On admet que cette variable aléatoire $D$ suit la loi normale de
moyenne $m$ et d'écart type $\sigma $.

\itemnum {\sl Estimation de $m$ et $\sigma $ :}

\itemitemalph Un échantillon de 100 pièces est prélevé au hasard dans
la production. Les mesures des diamètres des pièces de cet échantillon
son regroupées dans le tableau suivant~: 
$$\vcenter {\offinterlineskip \halign {
   %% preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & \matrix {\hbox {\tvi depth 0pt Mesures des}\cr \hbox {\tvi height 0pt
depth 6pt diamètres (en mm)}\cr}&& 
      [4, 0; 4, 2[ && [4, 2; 4, 4[ && [4, 4; 4, 6[ && [4, 6; 4, 8[ && [4, 8; 5, 0[ & 
   \cr
   \noalign {\hrule }
   \noalign {\hrule }
      & \rm effectif&& 6&& 24&& 41&& 25&& 4&
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$
En faisant l'hypothèse que, pour chaque classe, les valeurs mesurées
sont égales à celle du centre de la classe, calculer, à $10^{-2}$
près, la moyenne $d$ et l'écart type $s$ de cet échantillon. 

\itemitem {} En déduire l'estimation ponctuelle de $\sigma $ fournie par cet
échantillon. 

\itemitemalph On appelle $\overline D$ la variable aléatoire qui, à
chaque échantillon de 100 pièces, associe la moyenne des diamètres des
pièces de l'échantillon. 

\itemitem {} On rappelle que $\overline D$ suit la loi normale de
moyenne $m$ et d'écart type $\sigma / 10$.

\itemitem {} Déterminer un intervalle de confiance de la moyenne $m$
de $D$ au seuil de confiance de $95 \%$. 

\itemnum Dans cette question, on admet que la production comporte 5 \%
de pièces inutilisables. 

\itemitemalph  L'entreprise conditionne ses pièces par boîtes de $25$.

\itemitem {} On tire une boîte au hasard (on assimilera cette épreuve
à un tirage successif avec remise de $25$ pièces dans la production). 

\itemitem {} On désigne par K le nombre de pièces inutilisables dans
cette boîte. 

\itemitem {} Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $K$~?

\itemitem {} Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que cette
boîte contienne au plus une pièce inutilisable. 

\itemitemalph Un client qui a besoin de $185$ pièces commande $8$
boîtes de pièces (on assimile cette épreuve à un tirage successif et
avec remise de $200$ pièces dans la production). 

\itemitem {} On désigne par $L$ le nombre de pièces inutilisables dans cette commande.
On admet que $L$ suit la loi de Poisson de paramètre $10$.

\itemitem {} Quelle est la probabilité que le client dispose d'un
échantillon suffisant de pièces utilisables dans sa commande~? 

\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 31 mai 2004 (0.08s - 3824124 - 3 décembre 2008)