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Fichier TeX 
\exo{Ajustement affine par la méthode des moindres carrés}

Dans cet exercice, tous les résultats numériques seront donnés par leu
valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près, obtenu directement avec
une calculatrice.

L'étude, durant les cinq dernières années, du nombre de passagers
transportés annuellement sur une ligne aérienne a conduit au tableau
suivant~:
$$\vbox{\halign{
   \offinterlineskip
   %% preamble
      #\tv && \cc{#}& #\tv 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Année&& Rang $x_i$ de l'année&& 
      $\vcenter{\hbox{\tvi Nombre $p_i$} \hbox{\tvi height 0pt de
      passagers}}$& 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & 1992&& 1&& $7\, 550$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & 1993&& 2&& $9\, 235$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & 1994&& 3&& $10\, 741$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & 1995&& 4&& $12\, 837$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & 1996&& 5&& $15\, 655$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$

\itemnum On pose $y_i = \ln p_i$ où $\ln$ désigne le logarithme
   népérien.

\itemitemalph Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant~:
$$\vbox{\halign{
   \offinterlineskip
   %% preamble
      #\tv && \cc{#}& #\tv 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & $x_i$&& 1&& $\dots$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & $y_i$&& $8, 929$&& $\dots$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$

\itemitemalph Représenter le nuage de points $M_i (x_i, y_i)$ dans un
   repère orthogonal du plan. Peut-on envisager un ajustement affine
   de ce nuage.

\itemitemalphnum Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une
   équation de la droite de régression $D$ de $x$ en $y$.

\itemitemalph Déterminer le coefficient de corrélation $r$ entre les
deux variables $y$ et $x$. Le résultat obtenu confirme-t-il
l'observation faite au {\bf 1.}~{\sl b\/})~?

\itemitemalph Déduire du {\sl a\/}) une expression de $p$ en fonction
de $x$.

\itemitemalph En admettant que l'évolution constatée se poursuive les
années suivantes, utiliser la relation obtenue au {\sl c\/}) pour
estimer le nombre de passagers transportés en 1998.

\finexo

 

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