Source de reg

$Fichier TeX$
\exo{Méthode des moindres carrés~: charge de rupture d'un acier}

Le tableau suivant donne les résultats obtenus à partir de 10~essais
de laboratoire concernant la charge de rupture d'un en fonction de sa
teneur en carbone.
$$\vbox{\halign{
   \offinterlineskip
   %% preamble
      #\tv && \cc{#}& #\tv 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Teneur en carbone $x_i$&& 70&& 60&& 68&& 64&& 66&& 64&& 62&&
      70&& 74&& 62&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Charge de rupture $y_i$ (en kg)&& 87&& 71&& 79&& 74&& 79&&
   80&& 75&& 86&& 95&& 70&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$

\itemnum Représenter graphiquement le nuage de points $(x_i, y_i)$. On
   prendra 1~cm (ou 1~grand carreau) en abscisse pour une unité, en
   représentant les abscisses à partir de la valeur 60. En ordonnée,
   on prendra 1~cm (ou 1~grand carreau) pour 2~kg, en représentant les
   ordonnées à partir de 70.

\itemnum Calculer les coordonnées du point moyen de ce nuage.

\itemnum Déterminer la valeur approchée à $10^{-3}$ près du
   coefficient de corrélation linéaire de la série statistique de
   variables $x$ et $y$. Interpréter le résultat.

\itemitemalphnum Déterminer une équation de la forme $y = ax+b$ de la droite
   $D$ de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres
   carrés. On donnera des valeurs approchées des coefficients $a$ et
   $b$ à $10^{-3}$ près. 

\itemitemalph Tracer la droite $D$ sur le graphique.

\itemnum Un acier a une teneur en carbone de $77$. Donner une
   estimation de sa charge de rupture.

\finexo

\corrige{}

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/stats/}

\epsfxsize = 80mm

\itemnum 
$$
   \superboxepsillustrate{reg_004.ps}
$$

\itemnum Pour le point moyen, on calcule la moyenne arithmétique de
chacun des caractères. On trouve ainsi
$$
   \dresultat{G~: \left( 66; {398 \over5} \right)}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{G~: ( 66; 79,6)}
$$

\itemnum On trouve successivement
$$
   \bar x = 66,
      \qquad
   \sigma (x) = {2\over5} \sqrt{110} \simeq 4,195\ ;
      \qquad {\rm et} \qquad
   \bar y = 79,6\ ;
      \qquad
   \sigma (y) = {1\over5} \sqrt{1381} \simeq 7,432
$$
Le calcul de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire
par les formules
$$
   \sigma_{xy} = {1\over n} \left( \sum_{i=1}^n x_iy_i\right) - \bar
   x\bar y,
      \qquad {\rm et} \qquad
   r = {\sigma_{xy} \over \sigma (x) \times \sigma (y)}
$$ 
donne alors
$$
   \dresultat{\sigma_{xy} = {148 \over5} = 29,6}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat{r \simeq 0,949}
$$
Le coefficient de corrélation étant plutôt \og bon\fg\ (ie \og
proche\fg\ de~1), une approximation affine paraît adaptée.

\itemnum La droite $D$ de régression de $y$ en $x$ possède une
équation de la forme $y = ax+b$, où $a$ et $b$ vérifient
$$
   a = {\sigma_{xy} \over [\sigma (x)]^2},
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat{a = {37 \over 22} \simeq 1,682}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \bar y = a \bar x + b,
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat{b = -{157 \over5} = -31,4}
$$
d'où l'équation cherchée~: \mresultat{D: y = 1,682 x -31,4}

\itemnum En utilisant cette droite de régression, on trouve alors pour
une teneur en carbone de $x = 77$, une charge de rupture de
\mresultat{y \simeq 98, 114 \kg}.  

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3824053 - 3 décembre 2008)