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$Fichier TeX$
\exo{Méthode des moindres carrés~: Coefficient de diffusion}

Lorsque l'on maintient en contact deux blocs de métal à haute
température, les deux blocs se soudent au bout d'un certain temps, des
atomes d'un bloc s'étant déplacés sur l'autre et réciproquement~: on
dit alors qu'il y a {\sl diffusion}. 

Le but de ce problème est d'étudier la variation du coefficient de
diffusion $D$ (exprimé en cm.s$^{-1}$) en fonction de la température
$T$ (exprimée en degrés Kelvin).

On étudie expérimentalement la diffusion de l'or irradié~198 dans l'or
stable.

On pose 
$$
   X = {10^3 \over T}
      \qquad {\rm et} \qquad
   Y = - \log D
$$
où $\log$ désigne le logarithme décimal (c'est à dire que $\log D =
{\ln D \over \ln 10}$ où $\ln$ désigne le logarithme népérien).

On obtient expérimentalement le tableau suivant~:
$$\vbox{\halign{
   \offinterlineskip
   %% preamble
      #\tv && \cc{$#$}& #\tv 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & X_i&& 0, 8&& 0, 9&& 1&& 1, 1&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Y_i && 8, 31&& 9, 25&& 10, 16&& 11, 06&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$

\itemnum Représenter graphiquement le nuage de points $(X_i, Y_i)$.

\itemnum Calculer les coordonnées du point moyen de ce nuage.

\itemnum Déterminer la valeur approchée à $10^{-3}$ près du
   coefficient de corrélation linéaire de la série statistique de
   variables $X$ et $Y$. Interpréter votre résultat.

\itemitemalphnum Déterminer l'équation réduite de $D$, la droite
   de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres
   carrés. Les coefficients seront donnés à $10^{-2}$ près.

\itemitemalph Tracer la droite $D$ sur le graphique.

\itemitemalphnum Déduire de la question précédente l'existence de deux
   réels strictement positifs $\alpha$ et $\beta$, que l'on
   déterminera avec deux chiffres significatifs, tels que
$$
   D = \alpha e^{- \beta /T}.
$$

\itemitemalph Dresser le tableau des valeurs de $D$ (avec deux
chiffres significatifs) associés aux valeurs de $T$ suivantes~: $900$,
$1\, 000$, $1\, 100$, $1\, 200$ et $1\, 300$.

\finexo

\corrige{}

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/stats/}

%\epsfxsize = 80mm

\rightsuperboxepsillustrate{reg_005.ps}{-15}
\advance \numno by 1
\num\ Pour le point moyen, on calcule la moyen\-ne a\-ri\-thmé\-ti\-que de
chacun des caractères. On trouve ainsi
$$
   \dresultat{G~: ( 0, 95\ ; 9, 695)}
$$

\num\ On trouve successivement
$$
   \overline X = 0, 95\ ;
      \qquad
   \sigma (X) \simeq 0,112\ ;
$$
%      \qquad {\rm et} \qquad
et
$$
   \overline Y \simeq 9, 695\ ;
      \qquad
   \sigma (Y) \simeq 1, 024
$$
Le calcul de la covariance et du coefficient de cor\-ré\-la\-tion linéaire
par les formules
$$
   \sigma_{XY} = {1\over n} \left( \sum_{i=1}^n X_iY_i\right) - \overline
   X\overline Y,
      \qquad {\rm et} \qquad
   r = {\sigma_{XY} \over \sigma (X) \times \sigma (Y)}
$$ 
donne alors
$$
   \dresultat{\sigma_{XY} \simeq 0, 114\, 5}\ ;
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat{r \simeq 0,999}
$$
Le coefficient de corrélation étant plutôt \og bon\fg\ (ie \og
proche\fg\ de~1), \tresultat {une approximation affine paraît adaptée.}

\num\ La droite $D$ de régression de $Y$ en $X$ possède une
équation de la forme $Y = aX+b$, où $a$ et $b$ vérifient
$$
   a = {\sigma_{XY} \over [\sigma (X)]^2},
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat{a \simeq {0, 114\, 5 \over 0,012\,5} \simeq 9,16}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overline Y = a \overline X + b,
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat{b \simeq 0, 993}
$$
d'où l'équation cherchée~: \mresultat{D: Y = 9,16 X + 0, 993}

\alphnum\ En substituant, dans l'équation précédente, $10^3/T$ à $X$
et $-(\ln D) / (\ln 10)$ à $Y$, il vient~:
$$\displaylines{
   Y = 9,16 X + 0, 993
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   -{\ln D \over \ln 10} = 9,16 \times {10^3 \over T} + 0, 993
\cr
   \ln D = - (\ln 10) \times \left( {9, 16.10^3 \over T} + 0,
   993\right)
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   D = e^{-(\ln 10) \times \left( {9, 16.10^3 \over T}\right) - (\ln
   10) \times  0, 993}
\cr
   {\rm d'où} \quad
   D  = {e^{-(\ln 10) \times 9, 16.10^3 / T} \over e^{(\ln 10) \times
   0, 993}} = \alpha e^{-\beta /T}
\cr
   {\rm avec} \qquad
   \dresultat{\alpha = 1 / e^{(\ln 10) \times 0, 993} \simeq 0, 102}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat{\beta = (\ln 10) \times 9, 16.10^3 \simeq 20\, 091, 68}
}$$

\alph\ Avec ces valeurs pour $\alpha$ et $\beta$, on trouve alors
$$\vbox{\halign{
   \offinterlineskip
   %% preamble
      #\tv && \cc{$#$}& #\tv 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & T&& 900&& 1\, 000&& 1\, 100&& 1\, 200&& 1\, 300&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & D&& 6, 75.10^{-12}&& 7, 03 . 10^{-11}&& 4, 78.10^{-11}&& 2,
   36.10^{-9}&& 9, 14.10^{-9}&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.06s - 3824085 - 3 décembre 2008)