Source de cour

$Fichier TeX$
\sparagraphe {Forme trigonométrique, forme exponentielle}

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/complex/}

\epsfxsize = 60mm

\rightsuperboxepsillustrate {cour_006.ps}{-15}
%
Soit le nombre complexe $z = a+ib$ et son point image $M$ dans le plan
rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec u, \vec v)$. 
Le point $M$, s'il est différent de l'origine $O$, est entièrement
déterminé par les données de la distance $r$ et de l'angle $\theta $, où
$$
   r = OM
      \qquad {\rm et} \qquad
   \theta = \widehat {(\vec u, \overrightarrow {OM})}.
$$
Ce qui nous donne une autre écriture pour le nombre complexe $z$. On
notera
$$
   \dresultat {z = [r, \theta ]}
      \qquad {\rm ou} \qquad
   \dresultat {z = r e^{i\theta }}
$$
qui sont respectivement appelées {\sl forme trigonométrique\/} et {\sl
forme exponentielle\/} du nombre complexe $z$.

On appelle {\sl module\/} de $z$, et on note $|z|$, le nombre $|z| =
r$. On appelle {\sl argument\/} de $z$, et on note $\arg (z)$, toute
mesure de l'angle $\theta $. L'argument d'un nombre complexe n'est
donc défini qu'à $2k\pi $ près. On en donne généralement la 
{\sl détermination principale\/} qui est la mesure appartenant à 
l'in\-ter\-val\-le $]-\pi , \pi ]$.

En conséquence, les nombres $z = [r, \theta ]$ et $z' = [r', \theta ']$
sont égaux si et seulement si 
$$
   \dresultat {r = r'}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {\theta = \theta' + 2k\pi },
      \quad {\rm où} \quad k \in \zset . 
$$

Pour passer d'une écriture à une autre, on utilise les résultats
suivants~: si $z = a + ib$ , on a
$$\resultat {
   |z| = r = \sqrt {a^2 + b^2}.
}$$
et en considérant les projections orthogonales du point $M$ sur les
axes  de coordonnées, on obtient les relations
$$
   a = r \cos \theta,
      \qquad {\rm et} \qquad
   b = r \sin \theta .
$$
On peut alors déterminer $\theta $ en utilisant le fait que
$$
   \dresultat {\cos \theta = {a \over r}}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {\sin \theta = {b \over r}}
$$

Réciproquement, si on a la forme exponentielle $z = r e^{i\theta }$,
on détermine la forme algébrique avec la relation~:
$$
   \dresultat {z = re^{i\theta } = r (\cos \theta + i \sin \theta ) = a + ib }.
$$

{\bf Remarque~:}

On a donc en particulier \dresultat {e^{i\theta } = \cos
\theta + i \sin \theta }.
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3833875 - 5 décembre 2008)