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$Fichier TeX$
\exo {Complexes et géométrie}

Tous les résultats seront justifiés.

On considère les nombres complexes
$$
   z_1 = 3\left( \cos {\pi \over 6} + i \sin {\pi \over 6}\right),
      \qquad \qquad
   z_2 = \overline {z_1},
      \qquad \qquad
   z_3 = -z_1
      \qquad \qquad
   z_4 = z_1 e^{2i\pi \over 3},
$$
où $\overline {z_1}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_1$.

\itemnum Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$,
$z_2$ et $z_3$.

\itemnum Déterminer le module et un argument des nombres complexes
$z_2$ et $z_3$.

\itemitemalphnum Montrer que 
$$
   z_4 = 3e^{5i\pi \over 6}
$$

\itemitemalph En déduire le module et un argument du nombre
complexe $z_4$.

\itemitemalph Quelle est la forme algébrique de $z_4$~?

\itemnum Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec
u, \vec v\/)$ (unité graphique~: $2\cm $). On considère les points
$A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_1$, $z_2$, $z_3$ et
$z_4$.

\itemitemalph Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont sur un
même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce
cercle.

\itemitemalph Construire les points $A$, $B$, $C$ et $D$ en utilisant
leurs ordonnées.

\itemitemalph Calculer les distances $AC$ et $BD$.

\itemitemalph Quelle est la nature du quadrilatère  $ABCD$~?

\finexo

\corrige 

\itemnum Il vient
$$
   z_1 = 3\left( \cos {\pi \over 6} + i \sin {\pi \over 6}\right)
      = 3\left( {\sqrt 3 \over 2} + {1 \over 2}i\right)
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat {z_1 = {3\sqrt 3 \over 2} + {3 \over 2}i}
$$
On a alors facilement
$$
   \dresultat {z_2 = {3\sqrt 3 \over 2} - {3 \over 2}i}
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat {z_3 = -{3\sqrt 3 \over 2} - {3 \over 2}i}
$$

\itemnum On a évidemment $z_1 = \big[ 3 ; {\pi \over 6}\big] $. En
utilisant les propriétés du conjugué, on a alors \dresultat {z_2 =
\Big[ 3 ; -{\pi \over 6}\Big] }. 

\item {} Pour $z_3$, on pourrait procéder de
la même façon en utilisant le fait que $-1 = \big[ 1; \pi\big] , $
puis en utilisant les propriétés de la multiplication de complexes
sous forme trigonométrique. Utilisons la méthode choisie par la
plupart d'entre vous~:
$$
   |z_3| = \sqrt {\left( {3\sqrt 3}\over 2\right) ^2 + \left( {3\over
    2}\right) ^2}
      = \sqrt {{27\over 4} + {9\over 4}} = {6\over 2} = 3
      \quad {\rm d'où} \quad
   \cases {
      \cos \theta _3 = -{\sqrt 3\over 2}
   \cr
      \sin \theta _3 = -{1\over 2}
   \cr }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \theta _3 = -{5\pi\over 6} \quad {\rm convient}
$$
Finalement \dresultat {z_3 = \Big[ 3 ; -{5\pi \over 6}\Big] }. 

\itemalphnum Il vient
$$
   z_4 = z_1 e^{2i\pi \over 3}
      = 3 e^{i\pi \over 6} e^{2i\pi \over 3}
      = 3 e^{{i\pi \over 6} {2i\pi \over 3}}
      = \dresultat {3 e^{{5i\pi \over 6}} = z_1}
$$

\itemalph On a bien sûr \dresultat {|z_4| = 3} et \dresultat {\arg
      z_4 = {5\pi \over 6}} .

\itemalph D'où
$$
   z_4 = 3\left( \cos {5\pi \over 6} + i \sin {5\pi \over 6}\right)
      = 3\left( -{\sqrt 3 \over 2} + {1 \over 2}i\right)
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat {z_4 = -{3\sqrt 3 \over 2} + {3 \over 2}i}
$$

%% \itemalphnum On a, d'après les questions précédentes, $|z_1| = |z_2| =
%% 	 |z_3| = |z_4| = 3$, donc $OA = OB = OC = OD = 3$, ce qui prouve
%% 	  que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont sur un \tresultat {même cercle de
%% 	  centre $O$ et de rayon $3$}.
%% 
%% \def \epspath {%
%%    /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/algebre/complex/}
%% \itemalph 
%% $$
%%    \superboxepsillustrate {geom_009.ps}
%% $$
%% 
%% \catcode`|=12
%% \itemalph Il vient 
%% $$
%%    AC = |z_3 - z_1| 
%% 	 = \left| -{3\sqrt 3 \over 2} - {3 \over 2}i - {3\sqrt 3 \over 2} - {3 \over 2}i\right|
%% 	 = \left| -3\sqrt 3 - 3i\right|
%% 	 = \sqrt {\left( 3\sqrt 3\right) ^2 + 3^2} 
%% 	 = \dresultat {6 = AC}
%% $$
%% De la même manière,
%% $$
%%    BD = |z_4 - z_2| 
%% 	 = \left| -{3\sqrt 3 \over 2} + {3 \over 2}i - {3\sqrt 3 \over 2} + {3 \over 2}i\right|
%% 	 = \left| -3\sqrt 3 + 3i\right|
%% 	 = \sqrt {\left( 3\sqrt 3\right) ^2 + 3^2} 
%% 	 = \dresultat {6 = BD}
%% $$
%% 
%% \itemalph Le quadrilatère $ABCD$ est inscrit dans un cercle de centre
%% 	 $O$ et de rayon 3. On sait que $AC = 6$, ce qui prouve que
%% 	 $[AC]$ est un diamètre de ce cercle, donc les triangles $ABC$ 
%% 	 et $ABD$ sont respectivement rectangles en $B$ et en $D$. Un
%% 	 raisonnement analogue à partir de la relation $BD = 6$ prouve
%% 	 que les triangles $BCD$ et $BAD$ sont respectivement rectangles
%% 	 en $C$ et en $A$. Ce qui prouve que \tresultat {$ABCD$ est un
%% 	 rectangle}. 

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3834014 - 5 décembre 2008)