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\exo {Résolution d'équations}

On considère le polynôme $P (x) = x^3 - 5x^2 -x + 5$.

\itemnum Calculer $P (1)$.

\itemnum Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x$
réel, on ait~:
$$
   P (x) = (x-1) (ax^2 + bx + c).
$$

\itemnum Déduire des questions précédentes que les solutions de
l'équation $P (x) = 0$ sont $1$, $-1$ et $5$.

\itemnum Résoudre en utilisant les résultats précédents~:

\itemitemalph $(\ln x)^3 - 5(\ln x)^2 -\ln x + 5 = 0$, où $\ln x$
désigne le logarithme népérien de $x$~;

\itemitemalph $e^{3x} - 5e^{2x} - e^x + 5 = 0$ .

\finexo

\corrige

\itemnum On trouve facilement \dresultat {P (1) = 0}.

\itemnum Il vient
$$\eqalign {
   P (x) = (x-1) (ax^2 + bx + c).
      &= ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx -c 
\cr
      &= ax^3 + (b-a) x^2 + (c-b)x -c.
}$$
En identifiant aux coefficients du polynôme $P (x) = x^3 - 5x^2 -x +
5$, on obtient le système~:
$$
   \cases {
      a = 1
   \cr
      b-a = -5
   \cr 
      c-b = -1
   \cr 
      -c = 5
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      a = 1
   \cr
      b = -4
   \cr 
      c = -5
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {P (x) = (x-1) (x^2 - 4x - 5)}
$$

\itemnum En utilisant la forme factorisée de $P$, on a 
$$
   P (x) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x-1 = 0
      \quad {\rm ou} \quad
   x^2 - 4x -5 = 0
$$
On utilise la méthode du discriminant $\Delta $, ici égal à $36$, pour
trouver les deux racines $x_1 = -1$ et $x_2 = 5$ de la deuxième
équation. En conclusion, \tresultat {les racines de $P (x)$ sont $1$,
$-1$ et $5$}. 

\itemalphnum Posons le changement de variable $X = \ln x$. L'équation
proposée s'écrit alors
$$\eqalign {
   X^3 - 5X^2 - X + 5 = 0
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   X = 1 
      \quad {\rm ou} \quad
   X = -1
      \quad {\rm ou} \quad
   X = 5
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   \ln x = 1 
      \quad {\rm ou} \quad
   \ln x = -1
      \quad {\rm ou} \quad
   \ln x = 5
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   x = e
      \quad {\rm ou} \quad
   x = e^{-1}
      \quad {\rm ou} \quad
   x = e^5
\cr
}$$
d'où les \tresultat {$3$~solutions~: $e$, $e^{-1}$ et $e^5$}.

\itemalph Posons le changement de variable $X = e^x$. L'équation
proposée s'écrit alors
$$\eqalign {
   X^3 - 5X^2 - X + 5 = 0
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   X = 1 
      \quad {\rm ou} \quad
   X = -1
      \quad {\rm ou} \quad
   X = 5
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   e^x = 1 
      \quad {\rm ou} \quad
   \underbrace {e^x = -1}_{\rm impossible}
      \quad {\rm ou} \quad
   e^x = 5
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   x = \ln 1 = 0
      \quad {\rm ou} \quad
   x = \ln 5
\cr
}$$
d'où les \tresultat {$2$~solutions~: $0$ et $\ln 5$}.

\fincorrige

 

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