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$Fichier TeX$
\exo {Une étude facile, {\sl bac F6}, {\sl 1993}}

On considère la fonction numérique de la variable $x$ définie sur
$\rset $ par 
$$
   f (x) = (2x-4) e^x.
$$
On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan
muni d'un repère orthonormal $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$ d'unité
graphique 1~cm.

\itemitemalphnum Calculer la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers
$+\infty $.

\itemitemalph Calculer la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers
$-\infty $. On pourra écrire $f (x)$ sous la forme
$$
   f (x) = 2x e^x - 4e^x.
$$

\itemitemalphnum Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ peut s'écrire
$$
   f' (x) = 2 (x-1) e^x.
$$

\itemitemalph  \' Etudier le signe de $f' (x)$ pour $x$ réel. En
déduire le tableau de variation de la fonction $f$.

\itemnum Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$
en son point d'abscisse nulle.

\itemnum Tracer la tangente $T$ et la courbe $C_f$.

\itemnum Soit $F$ la fonction numérique de variable réelle $x$ définie
sur $\rset $ par
$$
   F (x) = (ax+b) e^x
      \qquad {\rm où} \qquad
   \hbox {$a$ et $b$ sont des réels.}
$$

\itemitemalph Calculer $F' (x)$.

\itemitemalph Déterminer $a$ et $b$ pour que $F (x)$ soit une
      primitive de $f$ sur $\rset $.

\itemnum Calculer la valeur exacte exprimée en cm$^2$ de l'aire de
l'ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x, y)$ vérifiant
$$
   \cases {
      0 \leq x \leq 2
   \cr 
      f (x) \leq y \leq 0
   \cr }
$$
En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum On a \dresultat {\lim _{x\to +\infty }f (x) = +\infty }
puisque
$$
   f (x) = (2x-4) e^x
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      \displaystyle \lim _{x\to +\infty } (2x-4) = +\infty
   \cr
      \displaystyle \lim _{x\to +\infty } e^x = +\infty
   \cr }
$$

\itemalph Et on a \dresultat {\lim _{x\to -\infty }f (x) = 0}
puisque
$$
   f (x) = 2xe^x -4e^x
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      \displaystyle \lim _{x\to -\infty } xe^x = 0& (formulaire)
   \cr
      \displaystyle \lim _{x\to -\infty } e^x = 0
   \cr }
$$
On en déduit que la courbe de la fonction $f$ admet \tresultat {l'axe
$Ox$ comme asymptote horizontale}. 

\itemnum On trouve $f' (x) = 2e^x + (2x-4)e^x$, soit \dresultat
{f'(x) = 2 (x-1) e^x}.
Comme $e^x$ est toujours strictement positif, cette dérivée est du
signe de $x-1$ et on a immédiatement le tableau de variation suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && 1&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& &-& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& 
      \buup {$0$}&
      \brightddownarrow & \down{$-2e \approx -5,436$}& 
      \brightuuparrow & \buup {$+\infty $}
   \cr
}}
}$$

\itemnum On a $f (0) = -4$ et $f' (0) = -2$. En utilisant la formule
   $y = f' (a) (x-a) + f (a)$, il vient \dresultat {T~: y = -2x-4}

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/exp/}
\epsfysize = 90mm

\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {etud_003.ps}
$$

\itemalphnum On trouve $F' (x) = ae^x + (ax+b)e^x$, soit \dresultat {F'
(x) = (ax + a+b)e^x}.

\itemalph Pour que $F$ soit une primitive de $f$, on doit avoir $F'
(x) = f (x)$, soit $(ax + a+b) = (2x-4)$. D'où le système d'équation
$$
   \cases {
      a = 2
   \cr
      a+b = -4
   \cr }
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   (a, b) = (2, -6)
$$
La fonction $F$ définie par \dresultat {F (x) = (2x-6) e^x} est donc
la primitive de $f$ cherchée.

\itemnum D'après la définition donnée du domaine plan, on voit que 
$f (x)$ est négatif pour $x$ dans l'intervalle $[0, 2]$. Comme l'unité
d'aire est de 1~cm$^2$, l'aire $\cal A$ est donnée par le calcul
$$
   {\cal A} = - \int _0^2 f (x) \, dx = \int _2^0 f (x) \, dx = \Big[
   F (x) \Big] _2^0 = F (0) - F (2) = -6 + 2e^2.
$$
On a donc \dresultat {{\cal A} = 2e^2 - 6\cm ^2 \approx 8, 78 \cm ^2}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3833720 - 5 décembre 2008)