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$Fichier TeX$
\exo {Un problème avec de l'exponentielle, {\sl bac stl cl, 2001}}

Soit $f$ la fonction définie sur $\rset $ par
$$
   f (x) = e^{2x} - 3e^x + x + 2
$$
et $\cal C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère
orthonormalo $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$ d'unité graphique
$4~\cm$.

\itemitemalphnum Déterminer la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers
$+\infty $.

\itemitemalph Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = x+2$ est
asymptote à $\cal C$.

\itemitemalph \' Etudier les positions relatives de la courbe $\cal C$
et de la droite $D$.

\itemnum Vérifier que pour tout réel $x$~:
$$
   f (x) = e^x \left( e^x - 3 + {x\over e^x} + {2 \over e^x}\right).
$$
En déduire la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $+\infty $.


\itemitemalphnum Calculer $f' (x)$.

\itemitemalph Vérifier que $f' (x) = (2e^x - 1) (e^x -1)$.

\itemitem {} Résoudre dans $\rset $ l'équation $f' (x) = 0$ puis
déterminer le signe de $f' (x)$.

\itemitemalph Dreseer le tableau de variations de $f$.

\itemitemalphnum Déterminer une équation de la tangente $T$ à la
courbe $\cal C$ en son point d'abscisse $\ln (2/3)$.

\itemitem {} Que peut-on dire des droites $T$ et $D$~?

\itemitemalph Tracer, dans le repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath
\,)$, les droites $D$, $T$ et la courbe $\cal C$.

\itemnum Calculer l'aire, en $\cm ^2$, de la partie du plan limitée
par la courbe $\cal C$, la droite $D$ et les droites d'équation $x=0$
et $x=\ln 3$.

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum Il vient
$$
   \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = -\infty }
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   f (x) = e^{2x} - 3e^x + x + 2
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      \lim _{x\to -\infty } e^{2x} = 0
   \cr
      \lim _{x\to -\infty } -3e^{x} = 0
   \cr
      \lim _{x\to -\infty } x+2 = -\infty 
   \cr }
$$

\itemalph On a 
$$
   f (x) - (x+2) = e^{2x} - 3e^x
      \qquad {\rm donc} \qquad
   \lim _{x\to -\infty } f (x) - (x+2) = 0 
$$
d'après {\bf 1.}{\sl a\/}). Ce qui prouve que la droite \tresultat {$y
= x+2$ est asymptote à la courbe $\cal C$ en $-\infty $}.

\itemalph \' Etudier les positions relatives de $\cal C$ et de $D$
revient à étudier le signe de la différence $f (x) - (x+2)$. Il vient
alors
$$\displaylines {
   f (x) - (x+2) = e^{2x} - 3e^x = e^x \big( e^x - 3\big) 
\cr
   {\rm or} \qquad
   e^x - 3 \geq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   e^x \geq 3
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x \geq \ln 3
\cr }
$$
d'où le tableau de signes et la conclusion~:
$$\dresultat {
\vcenter {\halign {\offinterlineskip 
   %% preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {#} 
   \cr
      x&& $-\infty $&& $\ln 3$&& $+\infty$
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      e^x&&& $+$ & \tv & $+$ 
   \cr
   \noalign {\hrule }
      e^x - 3&&& $-$ & $0$& $+$ 
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      f (x) - (x+2)&&& $-$ & $0$& $+$ 
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \hbox {positions relatives}&&& $\cal C$ au dessous de $D$& \tv & 
      $\cal C$ au dessus de $D$%
   \cr
}}
}
$$

\itemnum En développant l'expression proposée, il vient
$$
   e^x \left( e^x - 3 + {x\over e^x} + {2 \over e^x}\right)
      = e^{x+x} - 3e^x + {xe^x\over e^x} + {2e^x \over e^x}
      e^{2x} - 3e^x + x + 2.
$$
On a donc bien
$$
\dresultat {
   f (x) = e^x \left( e^x - 3 + {x\over e^x} + {2 \over e^x}\right)
}
      \qquad \hbox {d'où l'on déduit} \qquad
   \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty }
$$
puisque
$$
   \lim _{x\to +\infty } e^x = +\infty 
      \qquad
   \lim _{x\to +\infty } e^x -3 = +\infty 
      \qquad
   \lim _{x\to +\infty } {x\over e^x} = 0 
      \quad {\rm (formulaire)} \quad
      \qquad
   \lim _{x\to +\infty } {2\over e^x} = 0.
$$

\itemalphnum En partant de l'écriture $f (x) = e^{2x} - 3e^x + x + 2$, on
      a immédiatement \dresultat {f' (x) = 2e^{2x} - 3e^x +1}.

\itemalph \alph \ Et en développant l'expression proposée, il vient
$$
   (2e^x - 1) (e^x -1) = 2e^{2x} - e^x - 2e^x +1 = 2e^{2x} - 3e^x +1
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f' (x) = (2e^x - 1) (e^x -1)}
$$
Comme on a
$$\displaylines {
   2e^x - 1 = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   e^x = {1\over 2}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x = \ln {1\over 2} = -\ln 2
\cr
      {\rm et} \qquad
   e^x - 1 = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   e^x = 1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x = \ln 1 = 0
\cr }
$$
on a le tableau récapitulatif suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && -\ln 2&& 0&& +\infty &
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      e^x - 1&& & - & \tv & -& 0& +& &
   \cr
   \noalign {\hrule }
      2e^x - 1&& & - & 0& +& \tv & +& &
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \down {$-\infty $}&
      \brightuuparrow & \buup {${3\over 4} - \ln 2$}&
      \brightddownarrow & \down{$0$}& 
      \brightuuparrow & \buup {$+\infty $}
   \cr
}}
}$$
où
$$
\eqalign {
   f (-\ln 2)
   &= e^{-2\ln 2} -3e^{-\ln 2} - \ln 2 + 2
\cr
   &= e^{\ln 2^{-2}} -3e^{\ln 2^{-1}} - \ln 2 + 2
\cr
   &= {1\over 4} - {3\over 2}- \ln 2 + 2
   = {3\over 4} - \ln 2 \approx 0, 057
\cr
}
$$

\itemalphnum On a
$$
\vtop {\hsize = .45 \hsize 
$\displaystyle
\eqalign {
   f \big( \ln (3/2)\big)
   &= e^{2\ln (3/2)} -3e^{\ln (3/2)} + \ln (3/2) + 2
\cr
   &= e^{\ln (9/4)} -3\times {3\over 2} + \ln (3/2) + 2
\cr
   &= {9\over 4} -{9\over 2} + \ln (3/2) + 2 
\cr
   &= -{1\over 4} + \ln (3/2) \approx 0, 15
\cr
}
$}
\tv \ 
\vtop {\hsize = .45 \hsize 
$\displaystyle 
\eqalign {
   f' \big( \ln (3/2)\big)
   &= 2e^{2\ln (3/2)} -3e^{\ln (3/2)} + 1
\cr
   &= 2e^{\ln (9/4)} -3\times {3\over 2} +1
\cr
   &= {9\over 2} - {9\over 2} + 1
\cr &= 1
\cr
}
$}
$$
D'où l'équation de la tangente~:
$$
   T~: y = \Big(x-\ln {3\over 2}\Big) - {1\over 4} + \ln {3\over 2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {
      T~: y = x + {1\over 4}
   }
$$
Le coefficient directeur de la droite $T$ est $f' (\ln (3/2)) =
1$, autrement dit les droites $T$ et $D$ ont le même coefficient
directeur, ce qui permet d'affirmer que \tresultat {$T$ et $D$ sont
parallèles}.

\itemalph 
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/exp/}
$$
   \superboxepsillustrate {pbm_009.ps}
$$

\itemnum Comme $C$ est au-dessous de $D$ sur l'intervalle $[0; \ln 3]$
considéré, et comme l'unité d'aire est de $4\cm \times 4\cm = 16\cm
^2$, l'aire cherchée est
$$
\eqalign {
   {\cal A} 
   &= 16 \times \int _0^{\ln 3} (x+2) - f (x) \, dx
\cr 
   &= 16 \times \int _0^{\ln 3} -e^{2x} + 3e^x \, dx
\cr 
   &= 16 \times \Big[ -{1\over 2}e^{2x} + 3e^x \Big] _0^{\ln 3}
\cr 
   &= 16 \times \Big( \Big( -{1\over 2}e^{2\ln 3} + 3e^{\ln 3} \Big) - \Big(
   -{1\over 2} + 3\Big) \Big)
\cr 
   &= 16 \times \Big( \Big( -{9\over 2}+9 \Big) - {5\over 2} \Big)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {{\cal A} = 32\cm ^2}
\cr 
}
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3833880 - 5 décembre 2008)