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\exo {\' Etude d'une fonction rationnelle}

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $I =
]0, +\infty [$ par
$$
   f (x) = x + {3 \over x} - {1\over x^2}.
$$
et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(O, \vec \imath , \vec \jmath )$.

\itemnum Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers
$+\infty $.

\itemitemalphnum Montrer que, pour tout $x$ strictement positif, $f
(x)$ peut s'écrire
$$
   f (x) = {x^3 + 3x - 1\over x^2}.
$$

\itemitemalph Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers
$0$. En déduire l'équation d'une asymptote à la courbe $C_f$.

\itemnum On considère la droite $\Delta $ d'équation $y = x$. 

\itemitemalph Montrer que $\Delta $ est asymptote à la courbe $C_f$ en
$+\infty $.

\itemitemalph Déterminer les coordonnées de $K$, le point
d'intersection de la droite $\Delta $ avec la courbe~$C_f$.

\itemitemalphnum Calculer $f' (x)$ et montrer que l'on a, pour tout
$x>0$,
$$
   f' (x) = {(x-1)^2 (x+2) \over x^3}.
$$

\itemitemalph \' Etudier le signe de $f' (x)$. En déduire le tableau
de variations de $f$.

\itemitemalph Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe
$C_f$ au point $A$ d'abscisse~1.

\itemnum Représenter les droites $T$ et $\Delta $ ainsi que la courbe
$C_f$ dans le repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$.

\finexo

\corrige {}

\itemnum On trouve \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty }
puisque
$$
   f (x) = x + {3 \over x} - {1\over x^2}
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      \lim _{x\to +\infty } x = +\infty 
   \cr 
      \lim _{x\to +\infty } {3\over x} = 0
   \cr
      \lim _{x\to +\infty } {1\over x^2} = 0
   \cr}
$$

\itemalphnum On trouve facilement \dresultat {f (x) = {x^3 + 3x - 1\over
      x^2}} par réduction au même dénominateur de l'expression de $f$
      proposée.

\itemalph On en déduit que 
$$
   \dresultat {\lim _{x\to 0} f (x) = -\infty }
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   \cases {
      \lim _{x\to 0} x^3 + 3x - 1 = -1
   \cr 
      \lim _{x\to 0} {x^2} = 0^+
   \cr }
$$
Géométriquement, cette limite signifie que la droite d'équation
\tresultat {$x=0$ est asymptote verticale à $C_f$}

\itemalphnum Et on a \tresultat {$\Delta $ asymptote à $C_f$ en $+\infty
$} puisque
$$
   \lim _{x\to +\infty } f (x) - x 
      = \lim _{x\to +\infty } {3 \over x} - {1\over x^2} = 0
$$
d'après les calculs du {\bf 1.}.

\itemalph Chercher l'intersection de la droite $\Delta $ avec la
courbe $C_f$ revient à résoudre le système
$$
   \cases {
      y = x
   \cr
      y = f (x)
   \cr }
      \quad \Leftrightarrow \quad
   \cases {
      y = x
   \cr
      \displaystyle x = x + {3\over x^2} - {1\over x^3}
   \cr }
      \quad \Leftrightarrow \quad
   \cases {
      y = x
   \cr
      \displaystyle 0= {3x-1\over x^3}
   \cr }
      \quad \Leftrightarrow \quad
   \cases {
      y = x
   \cr
      0= 3x-1
   \cr }
$$
Ce système n'admet qu'un couple soltion, d'où les coordonnées de
l'unique point d'in\-ter\-sec\-tion~: \dresultat {K \left( {1\over 3},
{1\over 3}\right) }

\itemalphnum Le calcul de $f' (x)$ donne
$$
   f' (x) = 1 - {3\over x^2} + {2\over x^3}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f' (x) = {x^3 - 3x + 2\over x^3}}.
$$
Or le développement de l'expression proposée donne
$$
   {(x-1)^2 (x+2) \over x^3} 
      = {(x^2 - 2x + 1) (x+2) \over x^3}
      = {x^3 - 3x + 2\over x^3}
      = f' (x).
$$
D'où le résultat demandé.

\itemalph Pour l'étude du signe de la dérivée, on utilise la forme
factorisée de $f'$ puis on fait un tableau de signes~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& 0 && 1&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      (x-1)^2 && &+& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule }
      x+2 && &+& \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule }
      x^3 && 0&+& \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& \doublevrule &+& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \down {$-\infty $}&
      \brightuparrow & \buucenter{$3$}& 
      \bup {\brightuparrow }& \buup {$+\infty $}
   \cr
}}
}$$

\itemalph Quand au calcul de la tangente, on utilise la formule $y =
   f' (a) (x-a) + f (a)$. Sachant que $f' (1) = 0$ et que $f (1) = 3$,
   il vient \dresultat {T~: y = 3}.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/}
\vfill \eject
\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {frct_010.ps}
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.09s - 3833908 - 5 décembre 2008)