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$Fichier TeX$
\exo{\'Etude d'une cubique -- Calcul d'aire}

\itemnum Le plan est muni du repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec
\jmath\, )$ (unité de longueur 2~cm). On considère $C_f$, la
représentation graphique de la fonction numérique $f$ définie définie
sur $\rset$ par
$$
   f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,
$$
où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des constantes réelles. La représentation
graphique de la courbe $C_f$ est donnée ci-dessous~:
%
\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/}
\epsfxsize = 80mm
%
$$
   \superboxepsillustrate{pol_001a.ps}
$$
On précise qu'aux points $A$ et $B$, la tangente est parallèle à l'axe
des abscisses.

\itemitemalph \`A l'aide du graphique, déterminer les valeurs de $f
(0)$, $f (1)$, $f' (0)$ et $f' (2)$.

\itemitemalph Déterminer les valeurs des constantes $a$, $b$, $c$ et
$d$.

\itemnum On considère la fonction $g$ définie sur $\rset$ par 
$$
   g (x) = x^3 - 3x^2 + 1.
$$

\itemitemalph Déterminer les limites de la fonction $g$ en $+\infty$
et en $-\infty$.

\itemitemalph \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur
$\rset$. (Autrement dit calculer la dérivée $g' (x)$, étudier le signe
de cette dérivée, puis établir le tableau de variations de $g (x)$.)

\itemnum On admet que la représentation graphique donnée ci-avant est
celle de $C_g$, la courbe re\-pré\-sen\-ta\-ti\-ve de la fonction $g$.

\itemitemalph Calculer $g (1)$. En déduire le signe de la fonction $g$
sur l'intervalle $[1, 2]$.

\itemitemalph Déterminer, en $\cm^2$, l'aire du domaine plan limité
par la courbe $C_g$, l'axe $Ox$ et les droites d'équation $x= 1$ et
$x=2$.

\itemitemalph Hachurer cette aire sur le dessin.

\finexo

\corrige{}

\itemalphnum La courbe passe par les points $A (0, 1)$ et $(1, -1)$
donc \mresultat{f (0) = 1} et \mresultat{f (1) = -1}. De plus, on a des
tangentes horizontales en $A (0, 1)$ et $B (2, -3)$,
donc \mresultat{f' (0) = 0} et \mresultat{f' (2) = 0}.

\itemalph Comme $f' (x) = 3ax^2 + 2bx + c$, on déduit des quatres
conditions ci-dessus le système
$$
   \cases{
      d = 1
   \cr
      a + b + c + d = -1
   \cr
      c = 0
   \cr
      12a + 4b + c = 0
   \cr}
      \qquad \Longrightarrow \qquad
   \cases{
      d = 1
   \cr
      a + b = -2
   \cr
      c = 0
   \cr
      3a + b = 0
   \cr}
      \qquad \Longrightarrow \qquad
   \cases{
      d = 1
   \cr
      b = -3
   \cr
      c = 0
   \cr
      a = 1
   \cr}
$$
donc \mresultat{(a, b, c, d) = (1, -3, 0, 1)}, et
\mresultat{f (x) = x^3 -3x^2 + 1}.

\everymath = {\displaystyle}
\itemalphnum On a
$
   \lim_{x \rightarrow +\infty} g (x)
   = \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3 \left( 1 - {3\over x} + {1\over
   x^3}\right)
$, donc \dresultat{\lim_{x \rightarrow +\infty} g (x) = +\infty}.

\item{} De la même façon, 
$
   \lim_{x \rightarrow -\infty} g (x)
   = \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3 \left( 1 - {3\over x} + {1\over
   x^3}\right)
$, donc \dresultat{\lim_{x \rightarrow -\infty} g (x) = -\infty}.

\itemalph On a $g' (x) = 3x^2 - 6x$, et donc, sous forme factorisée,
   \dresultat{g' (x) = 3x (x-2)}. Une étude de signe permet de conclure~:
$$\vbox{
\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule& 
      $-\infty$&& $0$&& $2$&& $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $3x$& \vrule height 10pt depth 3pt & 
      & $-$& $0$& $+$& \vrule & $+$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $x-2$& \vrule height 10pt depth 3pt & 
      & $-$& \vrule & $-$& $0$& $+$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $g' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt &
      & $+$& $0$& $-$& $0$& $+$ 
   \cr
   \noalign{\hrule}
         \bbuucenter{$g (x)$}& \vrule& \down{$-\infty$}\hfill& 
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$1$}&
         \bbrightddownarrow & \down{$-3$}& 
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$+\infty$}%
   \cr 
}}
$$

\itemalphnum On trouve \mresultat{g (1) = -1}, or $g$ est décroissante
   sur $[1, 2]$ d'après le tableau de variations, donc \mresultat{g
   (x) < 0 {\rm \ sur\ } [1, 2]}.

\itemalph La fonction $g$ gardant un signe constant négatif sur $[1,
   2]$, l'aire cherchée est donnée, en unités d'aire, par le calcul
$$\eqalign{
   {\cal A} &= -\int_1^2 f (x)\, dx = \int_2^1 (x^3 -3x^2 +1) \, dx
\cr
   &= \left[ {x^4 \over4} - x^3 + x\right]_2^1
   = {1\over4} + 2 = {9\over4}.
\cr
}$$
L'unité d'aire étant de $2\times 2 = 4 \cm^2$, on en déduit qu'une
mesure de l'aire cherchée est \dresultat{{\cal A} = 9\cm ^2}.

\itemalph
\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/}
\epsfxsize = 100mm
%
$$
   \superboxepsillustrate{pol_001b.ps}
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3833878 - 5 décembre 2008)