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\exo {Fonction ln~: étude et résolution approchée d'équation}

On désigne par $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty [$ par~:
$$
   f (x) = -x + (x+1) \ln x.
$$

\itemitemalphnum \' Etudier les variations de la fonction $g$ définie
sur $]0, +\infty [$ par 
$$
   g (x) = 1 + x\ln x
$$
(l'étude des limites n'est pas demandée).

\itemitemalph En déduire que $g (x) > 0$ pour $x\in \, ]0, +\infty [$.

\itemitemalphnum \' Etudier les limites de $f$ aux bornes de
l'intervalle d'étude. Pour la limite en $+\infty $, on pourra vérifier
auparavant que l'on peut écrire $f$ sous la forme
$$
   f (x) = x (-1+\ln x) + \ln x.
$$

\itemitemalph \' Etablir que
$$
   f' (x) = {g (x) \over x}.
$$
En déduire les variations de $f$.

\itemitemalphnum Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique
solution $\alpha $.

\itemitemalph Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de
$\alpha $. (Justifier.)

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum En utilisant la formule de dérivation d'un produit de
fonctions, on trouve \dresultat {g' (x) = 1 + \ln x}. On a donc
$$
   g' (x) \geq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \ln x \geq -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x \geq e^{-1} = {1\over e}.
$$
d'où le tableau de variation de $g$~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && e^{-1}&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule }
      g' (x)&& & -& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule }
      \buucenter {$g (x)$}&& &
      \brightddownarrow & \down {$1 - e^{-1} \approx 0, 64$}& 
      \brightuuparrow & \bbuup {\phantom {m}}
   \cr
}}
}$$

\itemalph Le minimum de $g$ est $1-e^{-1}$, qui est un nombre
   strictement positif. On en déduit que \tresultat {$g (x)$ positif
   pour $x\in \rset $}.


 
\itemalphnum $\underline {\hbox {En $0$}}$~: il faut développer
   l'expression proposée pour le ver l'indétermination. Il vient
$$
   \dresultat {\lim _{x\to 0^+} f (x) = -\infty }
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   f (x) = - x + x\ln x + \ln x
      \quad {\rm avec} \quad
   \cases {
      \lim _{0^+} x = 0
   \cr
      \lim _{0^+} x \ln x = 0 &(cf cours)
   \cr
      \lim _{0^+} \ln x = -\infty 
   \cr }
$$
$\underline {\hbox {En $+\infty $}}$~: On vérifie facilement que $f
(x)$ est égale à l'expression proposée. On a alors
$$
   \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty }
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   f (x) = x (-1 + \ln x) + \ln x
      \quad {\rm avec} \quad
   \cases {
      \lim _{+\infty } x = +\infty 
   \cr
      \lim _{+\infty } -1+ \ln x = +\infty
   \cr
      \lim _{+\infty } \ln x = +\infty 
   \cr }
$$

\itemalph On trouve
$$
   f' (x) = -1 + \ln x + {x+1 \over x}
      = -1 + \ln x + 1 + {1 \over x}
      = {x\ln x + 1 \over x}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f' (x) = {g (x) \over x}}.
$$
Comme on a vu précédemment que $g (x)$ était toujours positif, on en
déduit le tableau de variation suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& 0 && +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      g (x)&& &+&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      x&& &+&
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      f' (x)&& &+&
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \bbucenter {$f (x)$}&& \down {$-\infty $}&
      \bbrightuparrow & \bbup {$+\infty $}
   \cr
}}
}$$

\itemalphnum Sur le tableau de variation, on constate que $f$ est
   {\bf strictement croissante} sur $]0;+\infty [$, et qu'elle {\bf
   change de signe} sur cet intervalle (elle passe de $-\infty $ à
   $+\infty $). On en déduit que \tresultat {l'équation $f (x) = 0$ admet
   une unique solution $\alpha $} sur $]0;+\infty [$.

\itemalph Plus précisément, après avoir procédé par dichotomie avec
   une calculatrice, on peut affirmer que 
$$
   \dresultat {1, 93 <\alpha <1, 94 }
$$
puisque $f (1, 93)$ est négatif alors que $f (1, 94)$ est positif.



\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 6 février 2003 (0.07s - 3833938 - 5 décembre 2008)