%@Titre: Afrique -- 1996
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On considère un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que le côté $[AB]$ mesure 7,5~cm et le côté $[BC]$ mesure 12~cm. Soit $M$ le milieu du segment $[BC]$ et soit $N$ le projeté orthogonal\footnote{Autrement dit, les droites $(BN)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.} du point $B$ sur la droite $(AC)$.
\begin{myenumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur.
\item Que représente la droite $(BN)$ pour le triangle $ABC$ ? Pourquoi ?
\item Soit $({\cal C})$ le cercle circonscrit au triangle $ABN$. On désigne par $O$ le centre de ce cercle $({\cal C})$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$.
\item Démontrer que $O$ est le milieu du segment $[AB]$.
\item Démontrer que le point $M$ est sur le cercle $({\cal C})$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\cos\widehat{NCB}$ dans le triangle $CNB$ rectangle en $N$.
\item Calculer $\cos\widehat{ACM}$ dans le triangle $CAM$ rectangle en $M$.
\item Déduire des deux questions précédentes que la longueur $CN$ est 9,6~cm.
\item Calculer la longueur $BN$.
\item Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{ACM}$ à un degré près.
\end{enumerate}
\item Soit $P$ le symétrique du point $N$ par rapport au point $O$. Placer le point $P$ et démontrer que le quadrilatère $ANBP$ est un rectangle.
\end{myenumerate}
\end{minipage}