%@metapost:lille1996.mp
%@Titre: Lille -- 1996
\par\compo{4}{lille1996}{1}{{\em La figure ci-après est à reproduire et à compléter à la quatrième question}.\par
On donne $AC=4,2$~cm; $AB=5,6$~cm; $BC=7$~cm. $I$ est le point du segment $[CB]$ tel que $CI=3$~cm. La parallèle à la droite $(AI)$ passant par $B$ coupe la droite $(AC)$ en $D$.}
\par
\begin{myenumerate}
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
\item
\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle $CBD$, démontrer que $CD=9,8$~cm.
\item Calculer $AD$ et démontrer que le triangle $ADB$ est un triangle rectangle isocèle.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{DBA}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'angle $\widehat{IAB}=45$\degres.
\item En déduire que la droite $(AI)$ est bissectrice de l'angle $\widehat{CAB}$.
\end{enumerate}
\item Soit $E$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AB)$. Soit $F$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AC)$.\par Démontrer que le quadrilatère $AEIF$ est un rectangle.
\item Démontrer que $IE=IF$.\par Quelle précision peut-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère $AEIF$ ?
\end{myenumerate}