%@metapost:gpe12001.mp
%@Titre: Groupement 1 -- 2001
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Ci-après, on a tracé le segment $[BC]$ tel que $BC=15$~cm.\par
  Placer un point $A$ tel que $AB=9$~cm et $AC=12$~cm.
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Placer le milieu $M$ du segment $[BC]$. Tracer le cercle de
  diamètre $[AB]$. Ce cercle recoupe le segment $[BC]$ en $D$ et le
  segment $[AM]$ en $E$.
\item Démontrer que les triangles $ABE$ et $ABD$ sont rectangles.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construire le point $F$, symétrique du point $E$ par rapport au
  point $M$.
\item Démontrer que le quadrilatère $BECF$ est un parallélogramme.
\item En déduire que les droites $(BE)$ et $(CF)$ sont parallèles, et
  que les droites $(AF)$ et $(CF)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et
  $(BE)$. Soit $K$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et
  $(CF)$.
\begin{enumerate}
\item Que représentent les droites $(AD)$ et $(BE)$ pour le triangle
  $ABM$ ?\par En déduire que les droites $(HM)$ et $(AB)$ sont
  perpendiculaires.\par Démontrer de même que les droites $(KM)$ et
  $(AC)$ sont perpendiculaires.
\item On appelle $I$ le point d'intersection des droites $(AB)$ et
  $(MH)$. On appelle $J$ le point d'intersection des droites $(AC)$ et
  $(KM)$.\par Démontrer que le quadrilatère $AIMJ$ est un
  rectangle.\par En déduire que le triangle $HMK$ est rectangle.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
$$\includegraphics{gpe12001.4}$$
\par{\em Les dimensions ne sont pas respectées}