%@metapost:polynesiesep2004.mp
%@Titre: Polynésie (Sept.) -- 2004
Une course à pied est organisée dans un collège. Un plan est distribué aux 
élèves à l'avance mais les parcours sont inconnus :
\par\compo{3}{polynesiesep2004}{1}{\begin{itemize}
\item Le plan n'est pas à l'échelle.
\item Départ et arrivée de chaque circuit au point $D$.
\item Les chemins possibles sont le long des segments tracés sur le plan.
\item $AB=400$~m; $AC=300$~m; $BC=500$~m; $ED=180$~m.
\item $\widehat{ADE}$ et $\widehat{DFB}$ sont des angles droits.
\item circuit 6\ieme\ : 432~m; circuit 5\ieme\ : 576~m; circuit 4\ieme\ : 720~m; circuit 3\ieme\ : 840~m.
\end{itemize}
}
\par\vspace{2mm}\par
Tristan qui est en 3\ieme\ fait équipe avec Cynthia, une élève de 5\ieme.
\par {\em Dans tout le problème, les longueurs doivent être données au mètre près et les angles au degré près.\\
Les résultats de plusieurs questions sont donnés, vous pouvez donc les utiliser dans les questions suivantes même si vous n'avez pas réussi à les démontrer.}
\par\vspace{2mm}\par\centerline{\bf Première partie}
\par On donne à Tristan le questionnaire ci-dessous afin de l'aider à trouver son circuit et celui de Cynthia. Ce questionnaire rapporte des points à l'équipe.
\\Rédiger les réponses à ce questionnaire :
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
\item En déduire que les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs $BD$ et $BE$.
\item En déduire que $AD=160$~m et $CE=200$~m.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item En utilisant $\cos\widehat{ABC}$, calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
\item En déduire que $FB=192$~m et $FD=144$~m.
\end{enumerate}
\item Calculer les longueurs des circuits suivants :
\begin{enumerate}
\item $DECAD$;
\item $DBFD$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
\par\centerline{\bf Deuxième partie}
\par Cynthia a un circuit de 576~m et doit en faire $x$ tours.
\par Tristan a un circuit de 840~m et doit en faire $y$ tours.
\par Pour trouver leurs nombres de tours Tristan a droit deux indices :
\begin{itemize}
\item[(1)]\og\`A vous deux, vous allez faire 5\,928~m\fg ;
\item[(2)]\og\`A vous deux, vous allez faire 8 tours\fg.
\end{itemize}
\begin{myenumerate}
\item \'Ecrire un système d'équation traduisant ces deux indices.
\item Résoudre ce système pour trouver le nombre de tours que chacun doit faire.
\end{myenumerate}