%@metapost:Polynesie2010.mp
%@Titre: Polynesie -- 2010
\compog{1}{Polynesie2010}{1}{%
\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. L'unité de longueur est le centimètre.} 

Dans le triangle $ABC$, on inscrit un rectangle $EFGH$ où $H$ est sur $[AB]$, $G$ sur $[AC]$, $E$ et $F$ sur $[BC]$.

Dans le triangle $ABC$, $L$ est sur $[BC]$ et $(AL)$ est la hauteur issue de $A$. $(AL)$ coupe $[GH]$ en $K$.
}
\par
On donne $BC=14$~cm, $AL=6$~cm et $AK=x$~cm où $x$ désigne un nombre
positif.

\textit{PARTIE 1 :}  Dans cette partie, on se place dans un 
cas particulier où l'on sait que $BL=4,8$~cm et $x=1$~cm.

\begin{Enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur. 
\item Calculer l'aire en cm$^2$ du triangle $BLA$. 
\item On souhaite justifier que les droites $(HG)$ et $(BC)$ sont parallèles. 
Parmi les propriétés suivantes, choisir et recopier sur votre feuille celle(s) qui permette(nt) cette justification.  
\begin{enumerate}
\item Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. 
\item Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. 
\item Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. 
\item La réciproque du théorème de Thalès.
\end{enumerate} 
\item Calculer la longueur $HK$.
\end{Enumerate}
\textit{PARTIE 2 :} Dans cette partie, on se place dans le cas général où $BL$ et $x$ ne sont pas connus.
\begin{Enumerate}
\item Exprimer la longueur $KL$ en fonction de $x$. 
\item Le point $K$ peut se déplacer sur le segment $[AL]$.\\L'utilisation d'un tableur a permis d'obtenir les longueurs $KL$ et $HG$ selon différentes valeurs de $x$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&0,6 &1,5 &1,8 &2,1 &4,2 &4,5 &5,1\\ \hline
$KL$& 5,4 &4,5 &4,2 &3,9 &1,8 &1,5 &0,9\\ \hline
$HG$&1,4 &3,5 &4,2 &4,9 &9,8 &10,5 &11,9\\ \hline
\end{tabularx}

Sans aucune justification, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les longueurs $KL$ et $HG$ pour $x$ égal à 4,5 cm ? 
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on l'égalité $KL=HG$ ?

Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatère $EFGH$ ?
\end{enumerate} 
\end{Enumerate}