%@Titre: Cercle d'Euler ou cercle des neuf points.
%@Dif:5
\partie{150}{Construction}
\begin{myenumerate}
\item On reprend la construction précédente.
\item On appelle $\Omega$ le milieu du segment $[OH]$; $N$ et $P$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[AB]$; $D$ et $E$ le symétriques respectifs de $B$ et $C$ par rapport à $O$; $I$, $J$, $L$ les points d'intersection respectifs entres la hauteur issue de $A$ et la droite $(BC)$, la hauteur issue de $B$ et la droite $(AC)$, la hauteur issue de $C$ et la droite $(AB)$; $H_1$, $H_2$, $H_3$ les milieux respectifs des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$.
\end{myenumerate}
\partie{150}{Démonstration}
Démontre que les points $M$, $N$, $P$, $I$, $J$, $L$, $H_1$, $H_2$ et $H_3$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\par\vspace{3mm}
\underline{Indication} : {\em On cherchera par expérimentation quel pourrait être le centre de ce cercle et on déterminera ensuite la valeur du rayon à l'aide d'un des points.
\par Restera ensuite à prouver que tous les autres points donnent la même valeur du rayon.\\Chose \og{}simple\fg{} pour les points $M$, $N$, $P$, $H_1$, $H_2$, $H_3$. Pour le point $I$, on pourra considérer la parallèle à la droite $(AH)$ passant par $\Omega$ et démontrer qu'elle coupe le segment $[IM]$ en son milieu.}
%@Commentaire: Exercice très difficile malgré l'indication. \`A faire de manière dirigée ou à la maison avec beaucoup de détails.