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%@P:exocorcp
%@metapost:402ds08.mp
\par\compo{1}{402ds08}{1}{On considère une pyramide régulière $SABCD$ à
base carrée. On note $[SH]$ sa hauteur et on donne $AH=12$~cm et
$AS=20$~cm.
\begin{myenumerate}
\item Calcule la longueur $SH$.
\item Calcule l'angle $\widehat{SAH}$.
\item Montre que la longueur $AB$ est égale à $\sqrt{288}$~cm.
\item Calcule le volume de la pyramide $SABCD$.
\item Construis le patron de la pyramide $SABCD$ à l'échelle
$\dfrac14$.
\item Soit $O$ le point du segment $[SH]$ tel que $SO=6$~cm. On crée
ainsi une deuxième pyramide régulière à base carrée.
\par Calcule le volume de la partie comprise entre les deux pyramides
$SABCD$ et $OABCD$.
\end{myenumerate}
}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item \pythadroit SHA{20}{12}
  \item Dans le triangle $SAH$ rectangle en $H$, on a :
\[\Eqalign{
\cos\widehat{SAH}&=\frac{AH}{AS}\cr
\cos\widehat{SAH}&=\frac{12}{20}\cr
\widehat{SAH}&\approx53\degres\cr
}\]
\item Comme $ABCD$ est un carré alors $AC=2\times AH=24$~cm.
\par Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire :
\[\Eqalign{
AC^2&=AB^2+BC^2\cr
24^2&=AB^2+AB^2\cr
576&=2AB^2\cr
288&=AB^2\cr
\sqrt{288}&=AB\cr
}\]
La longueur $AB$ mesure bien $\sqrt{288}$~cm.
\item On a
\[\Eqalign{
\mathscr{V}&=\frac13\times AB^2\times SH\cr
\mathscr{V}&=\frac13\times288\times16\cr
\mathscr{V}&=1\,536~\mbox{cm}^3\cr
}\]
\addtocounter{enumi}{1}
\item On a donc
\[\Eqalign{
\mathscr{V}_{OABCD}&=\frac13\times AB^2\times OH\cr
\mathscr{V}_{OABCD}&=\frac13\times288\times6\cr
\mathscr{V}_{OABCD}&=576~\mbox{cm}^3\cr
}\]
Donc le volume compris entre les deux pyramides est $1\,536-576=960$~cm$^3$.
\end{myenumerate}