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{\em Dans cet exercice, l'unité utilisée est le centimètre. On
complétera la figure de la page ci-contre qui n'est pas en vraie
grandeur.}
\par Soit $ABCD$ un rectangle de centre $O$ tel que $AB=8$ et $BC=6$.
\partie{150}{\bf Partie A}
\begin{myenumerate}
\item Calcule la longueur $BD$.
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ABD}$. On donnera la
réponse arrondie au degré.
\end{myenumerate}
\partie{150}{\bf Partie B}
Soit $E$ un point du segment $[AB]$ distinct de $A$ et $B$. La
parallèle à la droite $(BD)$ passant par $E$ coupe la droite $(AD)$ en
$F$.
\\On appelle $G$ le point symétrique de $E$ par rapport à $O$, et $H$
le point symétrique de $F$ par rapport à $O$.
\begin{myenumerate}
\item Place les points $F$, $G$ et $K$.
\item Démontre que le quadrilatère $EBGD$ est un parallélogramme.
\item Soit $K$ le point d'intersection de la droite $(EF)$ et de la
droite $(CD)$.\\ Démontre que le quadrilatère $BEKD$ est un
parallélogramme.
\item Démontre que $D$ est le milieu du segment $[GK]$.
\item Soit $J$ le point d'intersection des droites $(ED)$ et
$(KO)$. La droite $(GJ)$ coupe le segment $[EK]$ en $L$. Que
représente le point $L$ pour le segment $[EK]$ ?
\item
\begin{enumerate}
\item Que représente la droite $(AD)$ pour le segment $[GK]$ ?
\item Déduis-en que $FG=FK$.
\item Démontre que $BD=EF+FG$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontre que $EFGH$ est un parallélogramme.
\item Démontre que son périmètre est égal à $2\times BD$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
\[\includegraphics{402dse06.2}\]