On considère un triangle $ABC$, isocèle en $A$ tel que le côté $[AB]$ mesure 5~cm et le côté $[BC]$ mesure 8~cm.
\\Soit $M$, le milieu du côté $[BC]$. La perpendiculaire à la droite $(AC)$ passant par $B$ coupe la droite $(AC)$ en $N$.
\begin{myenumerate}
\item Construis la figure en vraie grandeur.
\item Que représente $(BN)$ pour le triangle $ABC$ ? Pourquoi ?
\item Soit $\cal C$, le cercle circonscrit au triangle $ABN$. On désigne par $O$, le centre de ce cercle $\cal C$.
\begin{enumerate}
\item Démontre que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$.
\item Démontre que $O$ est le milieu du segment $[AB]$.
\item Démontre que le point $M$ est sur le cercle $\cal C$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Exprime $\cos\widehat{BCN}$ dans le triangle $CNB$ rectangle en $N$.
\item Calcule $\cos\widehat{BCN}$ dans le triangle $CAM$ rectangle en $M$.
\item Déduis la longueur $CN$ des deux questions précédentes.
\item Calcule $BN$.
\item Donne une valeur approchée de l'angle $\widehat{BCN}$ à un degré près.
\end{enumerate}
\item Soit $P$, le symétrique du point $N$ par rapport au point $O$. Place le point $P$ et démontre que le quadrilatère $ANBP$ est un rectangle.
\end{myenumerate}