%@metapost:tangente404exo07.mp
%@P:exocorcp
%@Auteur: d'après APMEP.
\par Soit $ABC$ un triangle équilatéral. On place un point $M$ à l'intérieur du triangle $ABC$.
\par On trace la perpendiculaire à la droite $(BC)$ passant par $M$. Elle coupe la droite $(BC)$ en $E$.
\par On trace la perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $M$. Elle coupe la droite $(AB)$ en $G$.
\par On trace la perpendiculaire à la droite $(AC)$ passant par $M$. Elle coupe la droite $(AC)$ en $F$.
\par Où placer le point $M$ pour que la somme $ME+MF+MG$ sont minimale ?
%@Commentaire: Faire faire quelques essais et observer les résultats !
%@Correction:
Si on appelle $a$ la longueur du côté du triangle équilatéral $ABC$, on a
\par\compo{1}{tangente404exo07}{1}{
\[\Eqalign{
{\cal A}_{ABC}&={\cal A}_{MBC}+{\cal A}_{MAC}+{\cal A}_{MAB}\cr
{\cal A}_{ABC}&=\frac12aME+\frac12aMF+\frac12aMG\cr
{\cal A}_{ABC}&=\frac12a(ME+MF+MG)\cr
\frac{{\cal A}_{ABC}}{\dfrac12a}&=ME+MF+MG\cr
}\]
}