%@P:exocorcp
%@Dif:4
On veut déterminer les nombres entiers relatifs $x$ et $y$ ($x>y$)
tels que $xy=4\,374$ et $\pgcd(x;y)=27$.
\begin{myenumerate}
\item Explique pourquoi $x$ et $y$ peuvent s'écrire sous la forme
$x=27a$ et $y=27b$ avec $a$ et $b$ entiers ($a>b$).
\item Démontre que $ab=6$.
\item Détermine alors toutes les valeurs possibles de $a$ et $b$.
\item Déduis-en tous les nombres $x$ et $y$ possibles.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item Comme le $pgcd(x;y)=27$ alors 27 est un diviseur de $x$ et de
$y$. Donc on peut écrire $x=27a$ et $y=27b$.
  \item $ab=\dfrac x{27}\times\dfrac y{27}=\dfrac{xy}{729}=\dfrac{4\,374}{729}=6$.
  \item Comme $x$ et $y$ sont des nombres {\em relatifs} alors $a$ et
$b$ peuvent aussi être {\em relatifs} :
     \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
$a$&$b$&$x$&$y$\\
\hline
$-6$&$-1$&$-162$&$-27$\\
$-3$&$-2$&$-81$&$-54$\\
$-2$&$-3$&$-54$&$-81$\\
$-1$&$-6$&$-27$&$-162$\\
1&6&27&162\\
2&3&54&81\\
3&2&81&54\\
6&1&162&27\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Exercice difficile ; la notion de $\pgcd$ doit être maîtrisée ; la lecture des consignes est importante pour ne pas oublier de cas (\og{}relatifs\fg{}).