%@P:exocorcp
%@metapost: 303dm05.mp
\par\compo{1}{303dm05}{1}{Dans le triangle ci-contre, la droite $(AM)$ est
une médiane et la droite $(AH)$ est une hauteur. Les points $B$, $M$,
$H$ et $C$ sont alignés.
\par L'unité de longueur étant le centimètre, on pose
\[BM=CM=3,\,AH=2\mbox{ et } MH=x\]
\begin{myenumerate}
\item Exprime $AB^2$, $AC^2$, et $AM^2$ en fonction de $x$.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprime $AB^2+AC^2$ en fonction de $x$.
\item Exprime $2AM^2+\dfrac12BC^2$ en fonction de $x$.
\item Que peut-on dire de ces deux expressions ?
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{multicols}{3}
      Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore permet d'écrire :
\[\Eqalign{
AB^2&=AH^2+HB^2\cr
AB^2&=2^2+(3+x)^2\cr
AB^2&=4+9+6x+x^2\cr
AB^2&=x^2+6x+13\cr
}\]
\par\columnbreak\par
Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore permet d'écrire :
\[\Eqalign{
AC^2&=AH^2+HC^2\cr
AC^2&=2^2+(3-x)^2\cr
AC^2&=4+9-6x+x^2\cr
AC^2&=x^2-6x+13\cr
}\]
\par\columnbreak\par
Dans le triangle $AHM$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore permet d'écrire :
\[\Eqalign{
AM^2&=AH^2+HM^2\cr
AM^2&=2^2+x^2\cr
AM^2&=x^2+4\cr
}\]
    \end{multicols}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $AB^2+AC^2=x^2+6x+13+x^2-6x+13=2x^2+26$.
    \item $2AM^2+\dfrac12BC^2=2(x^2+4)+\dfrac12\times6^2=2x^2+8+18=2x^2+26$
    \item Ces deux expressions sont égales.
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Théorème de la médiane : démonstration sous forme littérale.