%@P:exocorcp
%@Dif:4
Soit $D$ et $E$ les expressions suivantes :
\[D=(4x+1)(x-3)-(x-3)^2\kern2cm E=(3x+9)^2-25\]
\begin{myenumerate}
\item Développe et réduis les expressions $D$ et $E$.
\item Factorise les expressions $D$ et $F$.
\item Résous l'équation $D=E$.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
\[\Eqalign{
D&=(4x+1)(x-3)-(x-3)^2\kern2cm&E&=(3x+9)^2-25\cr
D&=4x^2-12x+x-3-(x^2-6x+9)&E&=(3x)^2+2\times3x\times9+9^2-25\cr
D&=4x^2-11x-3-x^2+6x-9&E&=9x^2+54x+81-25\cr
D&=3x^2-5x-12&E&=9x^2+54x+56\cr
}\]
\item
\[\Eqalign{
D&=(x-3)\times\left[(4x+1)-(x-3)\right]&E&=(3x+9)^2-5^2\cr
D&=(x-3)\times(4x+1-x+3)&E&=(3x+9-5)(3x+9+5)\cr
D&=(x-3)(3x+4)&E&=(3x+4)(3x+14)\cr
}\]
\item \[\Eqalign{
D&=E\cr
(x-3)(3x+4)&=(3x+4)(3x+14)\cr
(x-3)(3x+4)-(3x+4)(3x+14)&=0\cr
(3x+4)\times\left[(x-3)-(3x+14)\right]&=0\cr
(3x+4)\times(x-3-3x-14)&=0\cr
(3x+4)\times(-2x-17)&=0\cr
}
\]
C'est un produit qui est nul donc
\[\Eqalign{
3x+4&=0\kern1cm\mbox{ou}\kern1cm&-2x-17&=0\cr
3x&=-4&-2x&=17\cr
x&=\frac{-4}3&x&=\frac{17}{-2}\cr
}\]
Les solutions de l'équation sont $x=-\dfrac43$ et $x=-\dfrac{17}2$.
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Factorisations sous les deux formes classiques. La résolution de l'équation demande une certaine autonomie et de l'intuition.