Modifié le 26 Octobre 2006 à 19 h 30.
%@P:exocorcp
%@Dif:3
On considère l'expression $E=4x^2-12x+9+(2x-3)(4x-5)$.
\begin{myenumerate}
\item Développe et réduis l'expression $E$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que pour toutes les valeurs de $x$, on a
\[4x^2-12x+9=(2x-3)^2\]
\item Déduis-en une factorisation de l'expression $E$.
\end{enumerate}
\item Calcule la valeur de l'expression $E$ pour $x=\sqrt5$ (on
donnera le résultat sous la forme $a\sqrt5+b$ où $a$ et $b$ sont des
nombres entiers relatifs).
\item Résous l'équation $(2x-3)(6x-8)=0$.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
\item
\[\Eqalign{
E&=4x^2-12x+9+(2x-3)(4x-5)\cr
E&=4x^2-12x+9+8x^2-10x-12x+15\cr
E&=12x^2-34x+24\cr
}\]
\item \[\Eqalign{
(2x-3)^2&&E&=(2x-3)^2+(2x-3)(4x-5)\cr
(2x)^2-2\times2x\times3+3^2&&E&=(2x-3)\times\left[(2x-3)+(4x-5)\right]\cr
4x^2-12x+9&&E&=(2x-3)\times(2x-3+4x-5)\cr
&&E&=(2x-3)\times(6x-8)\cr
}\]
\item Pour $x=\sqrt5$, on a $E=12\times\sqrt5^2-34\sqrt5+24=12\times5-34\sqrt5+24=84-34\sqrt5$.
\item C'est un produit nul donc
\[\Eqalign{
2x-3&=0\kern1cm\mbox{ou}\kern1cm&6x-8&=0\cr
2x&=3&6x&=8\cr
x&=\frac32&x&=\frac86=\frac43\cr
}\]
Les solutions de l'équation sont $\dfrac32$ et $\dfrac43$.
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Exercice classique. On pourra enlever la question 2.a pour les classes \og fortes\fg.