%@P:exocorcp
%@Dif:5
On prend $x$ et $y$ des nombres quelconques.
\par Calcule $(x+y)^3$ et déduis-en que $x^3+y^3$ peut être mis sous la forme d'un produit de deux facteurs dont l'un est $x+y$.
%@Correction:
On a $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ d'où $x^3+y^3=\ldots$ et on pense à factoriser $-3x^2y-3xy^2$ par $-3xy$.
\[\Eqalign{
(x+y)^3&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\cr
x^3+y^3&=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2\cr
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y)\cr
x^3+y^3&=(x+y)\times(x+y)^2-3xy(x+y)\cr
x^3+y^3&=(x+y)\times\left((x+y)^2-3xy\right)\cr
x^3+y^3&=(x+y)\times(x^2+2xy+y^2-3xy)\cr
x^3+y^3&=(x+y)\times(x^2-xy+y^2)\cr
}\]
%@Commentaire: Exercice difficile destiné surtout à un approfondissement.