Modifié le 26 Octobre 2006 à 19 h 30.
%@P:exocorcp
%@Titre:Divisibilité
%@Auteur: Olympiade belge.
%@Dif:4
Quel que soit le nombre entier $n$, le nombre $2^n\times3^n\times5^n+2^n\times15^n\times14+3^n\times10^n\times2$ est divisible par
\begin{multicols}{5}
\begin{enumerate}[(A)]
\item 7
\item 11
\item 13
\item 17
\item 19
\end{enumerate}
\end{multicols}
%@Correction:
\[\Eqalign{
A&=2^n\times3^n\times5^n+2^n\times15^n\times14+3^n\times10^n\times2\cr
A&=2^n\times3^n\times5^n+2^n\times(5\times3)^n\times14+3^n\times(2\times5)^n\times2\cr
A&=2^n\times3^n\times5^n+2^n\times5^n\times3^n\times14+3^n\times2^n\times5^n\times2\cr
A&=\underline{2^n3^n5^n}+\underline{2^n3^n5^n}\times14+\underline{2^n3^n5^n}\times2\cr
A&=\underline{2^n3^n5^n}\times(1+14+2)\cr
A&=\underline{2^n3^n5^n}\times17\cr
}\]
Il est donc divisible par 17.