%@P:exocorcp
%@metapost:3pbgeoexo2c.mp
On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=5,6$~cm ; $BC=4,2$~cm et
$AC=7$~cm.
\begin{myenumerate}
\item Fais la figure sur une feuille séparée. On complétera cette
figure au fur et à mesure des questions.
\item Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule l'aire du triangle $ABC$.
\item Dans le triangle $ABC$, la hauteur issue de $B$ coupe la droite
$(AC)$ en $H$.
\par Exprime l'aire du triangle $ABC$ en fonction de $BH$.
\item Montre que $BH=3,36$~cm.
\end{enumerate}
\item Calcule la longueur $HC$.
\item Place le point $D$ symétrique de $B$ par rapport à $H$. Trace la
droite qui passe par $D$ et qui est perpendiculaire à la droite
$(BD)$. Cette droite coupe la droite $(BC)$ en $E$.
\\Montre que $C$ est le milieu du segment $[BE]$.
\item Place le point K tel que $\vecteur{HC}=\vecteur{CK}$.
\\Quelle est la nature du quadrilatère $BHEK$ ? Justifie la réponse.
\item Démontre que $DEKH$ est un rectangle.
\item On appelle $(\cal C)$ le cercle circonscrit au quadrilatère
$DEKH$.
\begin{enumerate}
\item Trace le cercle $(\cal C)$ en justifiant la construction.
\item On considère le cône de hauteur 5~cm ayant pour base le
cercle $(\cal C)$.
\\Calcule le volume du cône au cm$^3$ près.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item\[\includegraphics{3pbgeoexo2c.1}\]
  \item\Recipytha ABC{7}{5,6}{4,2}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}2=\dfrac{5,6\times4,2}2=\opmul*{5,6}{4,2}{a}\opdiv*{a}{2}{a}{b}\opprint{a}$~cm$^2$.
    \item $\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{BH\times AC}2=\dfrac{BH\times
        7}2=3,5\times BH$.
    \item \[\Eqalign{
        \mathscr{A}_{ABC}&\rnode{A}{=}\opprint{a}&&&\mathscr{A}_{ABC}&\rnode{B}{=}3,5\times BH\cr
        \cr
        &&\opprint{a}&\rnode{C}{=}3,5\times BH\cr
        &&\dfrac{\opprint{a}}{3,5}&=BH\cr
        &&\opdiv*{a}{3,5}{a}{b}\opprint{a}&=BH\cr
        }\]
        \nccurve[angleA=-30,angleB=90,nodesepB=3mm]{->}{A}{C}\nccurve[angleA=-120,angleB=90,nodesepB=3mm]{->}{B}{C}
    \end{enumerate}
  \item \pythadroit CHB{4,2}{a}
  \item Comme $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $H$ alors $H$
    est le milieu du segment $[BD]$.\\Comme les droites $(HC)$ et
    $(DE)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(BD)$
    alors les droites $(HC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    \par Dans le triangle $BDE$, la parallèle à la droite $(DE)$
    passant par $H$, milieu du segment $[BD]$, coupe le segment $[BE]$
    en $C$. Donc $C$ est le milieu du segment $[BE]$.
  \item Comme $\vecteur{HC}=\vecteur{CK}$ alors $C$ est le milieu du
    segment $[HK]$.\\Or, $C$ est également le milieu du segment
    $[BE]$.\par Donc le quadrilatère $BHEK$ a ses diagonales qui ont
    le même milieu : $BHEK$ est alors un parallélogramme.
  \item Comme $BHEK$ est un parallélogramme alors les droites $(BH)$
    et $(EK)$ sont parallèles.\\Comme les droites $(BH)$ et $(EK)$
    sont parallèles et comme les droites $(BH)$ et $(HK)$ sont
    perpendiculaires alors les droites $(EK)$ et $(HK)$ sont
    perpendiculaires.\par Comme le quadrilatère $DEKH$ a trois angles
    droits alors $DEKH$ est un rectangle.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Comme $DEKH$ est un rectangle alors le centre de son cercle
      circonscrit est le point d'intersection des diagonales.
    \item Comme $BKEH$ est un parallélogramme alors $EH=BK$.
      \par Comme $C$ est le milieu de $[HK]$ alors $HK=2\times
      HC=2\times2,52=\opmul*{2,52}{2}{a}\opprint{a}$~cm.
      \\\pythahypo BHK{3,36}{a}
      \[\includegraphics{3pbgeoexo2c.2}\]
      \par Le volume du cône est donc
      \[\Eqalign{
        \mathscr{V}&=\frac13\times\pi\times\left(\frac{BK}2\right)^2\times5\cr
        \mathscr{V}&=\frac13\times\pi\times\frac{BK^2}4\times5\cr
        \mathscr{V}&=\frac13\times\pi\times\frac{36,6912}4\times5
        \mathscr{V}&=15,288\pi~\mbox{cm}^3\cr
        }\]
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}