%@P:exocorcp
Soit un triangle $GAZ$ tel que $GA=8$~cm; $AZ=6$~cm; $GZ=4$~cm. $E$
est le point du segment $[AG]$ tel que $AE=2$~cm. La droite passant
par $E$ et parallèle à la droite $(GZ)$ coupe la droite $(AZ)$ en $U$.
$\mathscr C$ est le cercle de diamètre $[AZ]$. On appelle $O$ son
centre.
\begin{myenumerate}
\item Fais une figure. On la complétera au fur et à mesure de
l'exercice.
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule les longueurs $AU$ et $EU$.\par Quelle est la
position du point $U$ sur le segment $[AO]$ ?
\item Quel est le périmètre du triangle $AEU$ ?
\end{enumerate}
\item La droite passant par $U$ et perpendiculaire à la
droite $(AZ)$ coupe le cercle $\cal C$ en $M$.
\\Prouve que $AM=3$~cm. Déduis-en la nature du triangle $AOM$.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $AMZ$ ? Pourquoi ?
\item Calcule la longueur $MZ$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item\Thalesf AGZEU\ResolThales AU{6}{2}{8}{cm}
      \par\ResolThales EU{4}{2}{8}{cm}\par Comme $U$ appartient au
      segment $[AO]$ et que $UO=UA$ alors $U$ est le milieu du segment $[AO]$.
    \item $\mathscr P_{AEU}=AE+EU+UA=2+1+1,5=4,5$~cm.
    \end{enumerate}
  \item Comme $U$ est le milieu du segment $[AO]$ alors la droite
    $(UM)$ est la médiatrice du segment $[AO]$. Donc $AM=OM=3$~cm.\par
    Par conséquent, le triangle $AMO$ est équilatéral.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Comme $M$ appartient au cercle de diamètre $[AZ]$ alors le
      triangle $AMZ$ est rectangle en $M$.
    \item\setboolean{racine}{true} \pythadroit AMZ63
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}