%@P:exocorcp
%@Titre: De l'irrationalité de $\sqrt2$.
%@Dif:4
On veut démontrer que $\sqrt2$ est un nombre {\em irrationnel}, c'est-à-dire un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers.
\\Pour cela, on raisonne {\em par l'absurde} : on suppose que $\sqrt2$ est un nombre rationnel et on démontre que l'on aboutit alors à une conclusion qui contredit l'hypothèse ; on en déduit que l'hypothèse est fausse.
\par Hypothèse ({\bf H}) : {\em $\sqrt2$ est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux nombres entiers positifs $a$ et $b$, avec $b\not=0$, premiers entre eux et tels que \[\sqrt2=\frac ab\]
}
\begin{myenumerate}
\item Que vaut $\dfrac{a^2}{b^2}$ ? Exprime $a^2$ en fonction de $b^2$.
\\Déduis-en que $a^2$, donc $a$, est un nombre pair.
\item $a$ étant pair, il existe un nombre entier $n$ non nul et tel que $a=2\times n$.
\\Exprime $a^2$ puis $b^2$ en fonction de $n$. Que peut-on en déduire pour $b^2$ ? Pour $b$ ?
\item On aboutit donc à la conclusion : $a$ et $b$ sont pairs.\\Pourquoi cette conclusion contredit-elle l'hypothèse ({\bf H}) de départ ?
\item Déduis des questions précédentes que $\sqrt2$ est un nombre irrationnel.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item $\dfrac{a^2}{b^2}=\left(\dfrac ab\right)^2=\left(\sqrt2\right)^2=2$. Donc $a^2=2b^2$.\par Comme $a^2$ est un multiple de 2 alors $a^2$ est un nombre pair et $a$ aussi.
  \item $a^2=(2n)^2=4n^2$ et $b^2=\dfrac{a^2}2=2n^2$. Donc $b^2$ est un nombre pair et $b$ aussi.
  \item C'est une contradiction car les nombres $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux.
  \item Comme on aboutit à une contradiction alors l'hypothèse est fausse : $\sqrt2$ est un nombre irrationnel.
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Exercice difficile malgré la décomposition. \`A faire dans une bonne classe.