%@P:exocorcp
%@Titre: Construction de la racine carrée du produit de deux nombres positifs.
%@Dif:3
\compo{2}{actiracinegeo}{1}{Considérons la figure ci-contre où $a$ et $b$ sont deux nombres positifs. $H$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AH=b$ et $HB=a$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $H$ coupe le demi-cercle de diamètre $[AB]$ en $M$.
}
\begin{myenumerate}
\item Applique le théorème de Pythagore au triangle $AHM$ rectangle en $H$.
\item Applique le théorème de Pythagore au triangle $BHM$ rectangle en $H$.
\item Explique pourquoi le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ et prouve que
\[(a+b)^2=AM^2+BM^2\]
\item En utilisant les résultats des questions précédentes, montre que 
\[MH=\sqrt{a\times b}\]
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item $AM^2=AH^2+HM^2$ ou $AM^2=b^2+HM^2$\rnode{C}{}.
  \item $BM^2=BH^2+HM^2$ ou $BM^2=a^2+HM^2$\rnode{D}{}.
  \item Comme $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ alors le triangle $ABM$ est rectangle en $M$. On applique le théorème de Pythagore :
\[\Eqalign{
AB^2&=AM^2+BM^2\cr
(a+b)^2&=AM^2+BM^2\cr
}\]
\item \[\Eqalign{
(a+b)^2&=\overbrace{AM^2}^{\rnode{A}{}}+\overbrace{BM^2}^{\rnode{B}{}}\cr
(a+b)^2&=b^2+HM^2+a^2+HM^2\cr
a^2+2ab+b^2&=a^2+b^2+2HM^2\cr
2ab&=2HM^2\cr
ab&=HM^2\cr
\sqrt{ab}&=HM
}\]
\end{myenumerate}
\ncarc[linecolor=gray,arcangle=-30]{->}{A}{C}
\ncarc[linecolor=gray,arcangle=-30]{->}{B}{D}
%@Commentaire: Suite de l'exercice \verb+exo22.tex+ ; on généralise la construction. L'exercice est de difficulté semblable.