%@P:exocorcp
{\em Toutes les questions sont indépendantes.}
\begin{myenumerate}
  \item Développe le produit $(2\sqrt3+1)(\sqrt3-2)$.
  \item Détermine la valeur de l'expression $E=2x^2-3x+1$ pour $x=2\sqrt3$.
  \item Sans calculatrice, calcule
    \[\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt1}}}}}}\]
  \item {\em L'unité de longueur est le centimètre}. Soit deux
    triangles rectangles dont on connaît les dimensions des côtés de
    l'angle droit:
    \begin{description}
    \item[Triangle $\mathscr T_1$] $\sqrt5+1$ et $\sqrt5-1$;
    \item[Triangle $\mathscr T_2$] $2+\sqrt2$ et $2-\sqrt2$.
    \end{description}
    Ont-ils la même aire ? la même hypoténuse ?
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
\begin{multicols}{2}
  \item \[\Eqalign{
A&=(2\sqrt3+1)(\sqrt3-2)\cr
A&=2\sqrt3^2-4\sqrt3+\sqrt3-2\cr
A&=6-3\sqrt3-2\cr
A&=4-3\sqrt3\cr
}\]
\item \[\Eqalign{
E&=2\times\left(2\sqrt3\right)^2-3\times2\sqrt3+1\cr
E&=2\times4\times3-6\sqrt3+1\cr
E&=24-6\sqrt3+1\cr
E&=25-6\sqrt3\cr
}\]
\end{multicols}
\item \[\Eqalign{
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{4}}}}}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+2}}}}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{9}}}}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+3}}}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{16}}}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+4}}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{25}}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{31+5}}\cr
A&=\sqrt{43+\sqrt{36}}\cr
A&=\sqrt{43+6}\cr
A&=\sqrt{49}\cr
A&=7\cr
}\]
\item
\[\Eqalign{
\mathscr
A_1&=\frac{\left(\sqrt5+1\right)\times\left(\sqrt5-1\right)}2&\mathscr
A_2&=\frac{\left(2+\sqrt2\right)\times\left(2-\sqrt2\right)}2\cr
\mathscr
A_1&=\frac{\sqrt5^2-\sqrt5+\sqrt5+1^2}2&\mathscr
A_2&=\frac{2^2-2\sqrt2+2\sqrt2-\sqrt2^2}2\cr
\mathscr
A_1&=\frac{5-1}2&\mathscr A_2&=\frac{4-2}2\cr
\mathscr A_1&=2~\mbox{cm}^2&\mathscr A_2&=1~\mbox{cm}^2\cr
}\]
Les aires sont différentes.
\begin{multicols}{2}
\[\Eqalign{
\ell_1^2&=\left(\sqrt5-1\right)^2+\left(\sqrt5+1\right)^2\cr
\ell_1^2&=5-\sqrt5-\sqrt5+1+5+\sqrt5+\sqrt5+1\cr
\ell_1^2&=12\cr
\ell_1&=\sqrt{12}\cr
}\]
\par\columnbreak\par
\[\Eqalign{
\ell_2^2&=\left(2+\sqrt2\right)^2+\left(2-\sqrt2\right)^2\cr
\ell_2^2&=4+2\sqrt2+2\sqrt2+2+4-2\sqrt2-2\sqrt2+2\cr
\ell_2^2&=12\cr
\ell_2&=\sqrt{12}\cr
}\]
\end{multicols}
Les hypoténuses sont identiques.
\end{myenumerate}