%@P:exocorcp
%@Dif:3
$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=\sqrt{2\,000}$ et $BC=\sqrt{1\,000}$.
\begin{myenumerate}
\item La longueur est-elle le double de la largeur ? Pourquoi ?
\item Exprime $\sqrt{2\,000}$ sous la forme $a\sqrt5$ et
$\sqrt{1\,000}$ sous la forme $b\sqrt{10}$, où $a$ et $b$ sont des
entiers.
\item Exprime l'aire du rectangle sous la forme $c\sqrt2$, où $c$ est
un nombre entier.
\item Montre que le périmètre du rectangle peut s'écrire sous la forme
\[20\sqrt5\left(2+\sqrt2\right)\]
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item $2\times BC=2\times\sqrt{1\,000}$ et $AB=\sqrt{2\times1\,000}=\sqrt2\times\sqrt{1\,000}$. Donc la longueur n'est pas le double de la largeur.
  \item \[\Eqalign{
&\sqrt{2\,000}&&\sqrt{1\,000}\cr
&\sqrt{400\times5}&&\sqrt{100\times10}\cr
&\sqrt{400}\times\sqrt5&&\sqrt{100}\times\sqrt{10}\cr
&20\sqrt5&&10\sqrt{10}\cr
}\]
\begin{multicols}{2}
\item \[\Eqalign{
{\cal A}&=AB\times BC\cr
{\cal A}&=20\sqrt5\times10\sqrt{10}\cr
{\cal A}&=20\times10\times\sqrt5\times\sqrt{10}\cr
{\cal A}&=200\times\sqrt5\times\sqrt{5\times2}\cr
{\cal A}&=200\times\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt2\cr
{\cal A}&=200\times5\times\sqrt2\cr
{\cal A}&=1\,000\sqrt2\cr
}\]
\item \[\Eqalign{
{\cal P}&=2\times(AB+BC)\cr
{\cal P}&=2\times(20\sqrt5+10\sqrt{10})\cr
{\cal P}&=40\sqrt5+20\times\sqrt{5\times2}\cr
{\cal P}&=40\sqrt5+20\sqrt5\times\sqrt2\cr
{\cal P}&=20\sqrt5(2+\sqrt2)\cr
}\]
\end{multicols}
\end{myenumerate}
%@Commentaire: On relie les racines carrées avec la réduction et la factorisation. Exercice un peu difficile pour la dernière question.