%@P:exocorcp
%@Geogebra:3thalesexo2.ggb
\paragraph{Partie 1 : Nouveau théorème}\subitem{}\par Soit $ABC$ un triangle
quelconque. La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe la droite
$(BC)$ en $D$. La parallèle à la droite $(AD)$ passant par $C$ coupe
la droite $(AB)$ en $E$.\par Démontre que
\[\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\]
\emph{
  Pour cela, on suivra le cheminement suivant :
  \begin{itemize}
  \item expliquer pourquoi le triangle $ACE$ est isocèle en $A$;
  \item en posant $k=\dfrac{BD}{BC}$, expliquer pourquoi
    $DC=BC\times(1-k)$ et $AC=BE\times(1-k)$;
  \item conclure.
  \end{itemize}
}
\paragraph{Partie 2 : Application du théorème}\subitem{}\par Soit un triangle
$ABC$ tel que $AB=24$~cm, $AC=56$~cm et $BC=40$~cm.
\par La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe la droite $(CB)$
en $D$. La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe la droite
$(AC)$ en $E$. La bissectrice de l'angle $\widehat{BCA}$ coupe la
droite $(AB)$ en $F$.
\begin{myenumerate}
\item Calcule les longueurs $DB$, $DC$, $EA$, $EC$, $FA$ et $FB$.
\item On appelle $I$ le centre du cercle inscrit au triangle
  $ABC$.\\\'Evalue les rapports $\dfrac{ID}{IA}$, $\dfrac{IE}{IB}$ et
  $\dfrac{IF}{IC}$. Calcule leur produit.
\end{myenumerate}
%@Commentaire:Reprise de l'exercice \verb+exo2+ pour en faire un exercice un peu plus abordable au niveau de la première question.
%@Correction:
\paragraph{Partie 1 : Nouveau théorème}\subitem{}\par
\begin{itemize}
  \item Comme $(AD)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$ alors
    $\widehat{CAD}=\widehat{DAB}$.\\Les angles $\widehat{DAC}$ et
    $\widehat{ACE}$ sont des angles alternes-internes formés par les
    droites $(AD)$, $(CE)$ et la sécante $(AC)$. De même, les angles
    $\widehat{BAD}$ et $\widehat{AEC}$ sont correspondants. Or, les
    droites $(AD)$ et $(CE)$ sont parallèles. Donc les angles
    $\widehat{DAC}$ et $\widehat{ACE}$ sont égaux ainsi que les angles
    $\widehat{BAD}$ et $\widehat{AEC}$.\\Comme les angles
    $\widehat{AEC}$ et $\widehat{ACE}$ sont égaux alors le triangle
    $AEC$ est isocèle en $A$.
  \item Dans le triangle $BEC$, $A$ appartient à la droite $(BE)$; $D$
    appartient à la droite $(BC)$ et les droites $(AD)$ et $(EC)$ sont
    parallèles. Le théorème de Thalès permet d'écrire :
    \[\frac{BA}{BE}=\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{EC}\]
    En posant $k=\dfrac{BA}{BE}$, on a également
    $k=\dfrac{BD}{BC}$. Donc $BD=k\times BC$ et $BA=k\times BE$.
    \par On a
    \[\Eqalign{
      DC&=BC-BD\kern0.1\linewidth&AC&=EA\cr
      DC&=BC-k\times BC&AC&=BE-AB\cr
      DC&=BC\times(1-k)&AC&=BE-k\times BE\cr
      &&AC&=BE\times(1-k)\cr
    }\]
  \item On a donc \[\Eqalign{
      \frac{DB}{DC}&\kern0.1\linewidth&\frac{AB}{AC}\cr
\frac{k\times BC}{(1-k)\times BC}&&\frac{k\times BE}{(1-k)\times
  BE}\cr
\frac{k}{1-k}&&\frac{k}{1-k}\cr
}\]
Donc
\[\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.\]
\end{itemize}
\paragraph{Partie 2 : Application du théorème}\subitem{}\par
\begin{myenumerate}
  \item D'après le théorème du paragraphe précédent, on a
    \[\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\kern0.1\linewidth\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}\kern0.1\linewidth\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\]
Donc
\begin{multicols}{3}
\[\Eqalign{
\frac{DB}{DC}&=\frac{24}{56}\cr
\frac{DB}{40-DB}&=\frac37\cr
7\times DB&=3\times(40-DB)\cr
7DB&=120-3DB\cr
10DB&=120\cr
DB&=12~\mbox{cm}\cr
}\]
D'où $DC=28$~cm.
\par\columnbreak
\[\Eqalign{
\frac{EA}{EC}&=\frac{24}{40}\cr
\frac{EA}{56-EA}&=\frac35\cr
5\times EA&=3\times(56-EA)\cr
5EA&=168-3EA\cr
8EA&=168\cr
EA&=21~\mbox{cm}\cr
}\]
D'où $EC=35$~cm.
\par\columnbreak
\[\Eqalign{
\frac{FA}{FB}&=\frac{56}{40}\cr
\frac{FA}{24-FA}&=\frac75\cr
5\times FA&=7\times(24-FA)\cr
5FA&=168-7FA\cr
12FA&=168\cr
FA&=14~\mbox{cm}\cr
}\]
D'où $FB=10$~cm.
\end{multicols}
\item On a, toujours d'après le théorème du paragraphe précédent :
\[\Eqalign{
  \frac{ID}{IA}&=\frac{CD}{CA}\kern0.1\linewidth&\frac{IE}{IB}&=\frac{AE}{AB}\kern0.1\linewidth&\frac{IF}{IC}&=\frac{BF}{BC}\cr
  \frac{ID}{IA}&=\frac{28}{56}&\frac{IE}{IB}&=\frac{21}{24}&\frac{IF}{IC}&=\frac{10}{40}\cr
}\]
Leur produit est
\[\Eqalign{
  \ell&=\frac{ID}{IA}\times\frac{IE}{IB}\times\frac{IF}{IC}\cr
  \ell&=\frac{28}{56}\times\frac{21}{24}\times\frac{10}{40}\cr
  \ell&=\frac12\times\frac78\times\frac14\cr
  \ell&=\frac7{64}\cr
}\]
\end{myenumerate}