%@Titre: Afrique -- 1996 \begin{minipage}{\linewidth} On considère un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que le côté $[AB]$ mesure 7,5~cm et le côté $[BC]$ mesure 12~cm. Soit $M$ le milieu du segment $[BC]$ et soit $N$ le projeté orthogonal\footnote{Autrement dit, les droites $(BN)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.} du point $B$ sur la droite $(AC)$. \begin{myenumerate} \item Construire la figure en vraie grandeur. \item Que représente la droite $(BN)$ pour le triangle $ABC$ ? Pourquoi ? \item Soit $({\cal C})$ le cercle circonscrit au triangle $ABN$. On désigne par $O$ le centre de ce cercle $({\cal C})$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. \item Démontrer que $O$ est le milieu du segment $[AB]$. \item Démontrer que le point $M$ est sur le cercle $({\cal C})$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $\cos\widehat{NCB}$ dans le triangle $CNB$ rectangle en $N$. \item Calculer $\cos\widehat{ACM}$ dans le triangle $CAM$ rectangle en $M$. \item Déduire des deux questions précédentes que la longueur $CN$ est 9,6~cm. \item Calculer la longueur $BN$. \item Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{ACM}$ à un degré près. \end{enumerate} \item Soit $P$ le symétrique du point $N$ par rapport au point $O$. Placer le point $P$ et démontrer que le quadrilatère $ANBP$ est un rectangle. \end{myenumerate} \end{minipage}