%@metapost:lille1996.mp %@Titre: Lille -- 1996 \par\compo{4}{lille1996}{1}{{\em La figure ci-après est à reproduire et à compléter à la quatrième question}.\par On donne $AC=4,2$~cm; $AB=5,6$~cm; $BC=7$~cm. $I$ est le point du segment $[CB]$ tel que $CI=3$~cm. La parallèle à la droite $(AI)$ passant par $B$ coupe la droite $(AC)$ en $D$.} \par \begin{myenumerate} \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle. \item \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle $CBD$, démontrer que $CD=9,8$~cm. \item Calculer $AD$ et démontrer que le triangle $ADB$ est un triangle rectangle isocèle. \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{DBA}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'angle $\widehat{IAB}=45$\degres. \item En déduire que la droite $(AI)$ est bissectrice de l'angle $\widehat{CAB}$. \end{enumerate} \item Soit $E$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AB)$. Soit $F$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AC)$.\par Démontrer que le quadrilatère $AEIF$ est un rectangle. \item Démontrer que $IE=IF$.\par Quelle précision peut-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère $AEIF$ ? \end{myenumerate}