%@metapost:orleans1996.mp %@Titre: Orléans -- 1996 \paragraph{Première partie} Le plan est muni d'un repère orthogonal. Pour le représenter on choisira 1~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. \par On considère les droites suivantes : \begin{itemize} \item $(d)$ d'équation $y=18x$; \item $(d')$ d'équation $y=-6x+20$. \end{itemize} \begin{myenumerate} \item Afin de tracer $(d)$ et $(d')$, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Soit $P$ le point de $(d)$ d'abscisse 5. Calculer son ordonnée. \item Soit $Q$ le point de $(d)$ d'ordonnée 180. Calculer son abscisse. \item Soit $R$ le point de $(d')$ d'ordonnée 120. Calculer son abscisse. \item Soit $S$ le point de $(d')$ d'abscisse 10. Calculer son ordonnée. \end{enumerate} \item Dans le repère décrit au début de la première partie, construire $(d)$ et $(d')$. ({\em On utilisera une feuille de papier millimétré}.) \end{myenumerate} \par\compo{3}{orleans1996}{1}{\paragraph{Deuxième partie} On considère le prisme droit $ABCFDE$ dont la base est un triangle $ABC$ rectangle en $A$. L'unité étant le centimètre, on donne $AB=AD=6$ et $AC=5$. \par Calculer le volume $\cal W$ de ce prisme, exprimé en cm$^3$.} \par\compo{4}{orleans1996}{1}{\paragraph{Troisième partie} On considère le parallélépipède rectangle $ABEDLGHK$ représenté ci-contre. Dans ce parallélépipède, on considère le prisme droit $ABMNDE$ dont la base est le triangle rectangle $ABM$.\par L'unité étant le centimètre, on pose $AB=AD=6$; $AG=10$; $AM=x$, $x$ étant un nombre compris entre 0 et 10.} \begin{myenumerate} \item Calculer, en cm$^3$, le volume $\cal U$ du parallélépipède rectangle $ABEDLGHK$. \item \begin{enumerate} \item Calculer, en fonction de $x$, le volume $\cal V$ du prisme $ABMNDE$. \item Vérifier que pour $x=5$, ce volume vaut 90. \end{enumerate} \item Expliquer pourquoi le volume ${\cal V}'$ du parallélépipède tronqué $GHKLNMBE$ est donné par la formule ${\cal V}'=360-18x.$ \item Pour quelle valeur du nombre $x$ a-t-on ${\cal V}={\cal V}'$ ? Que vaut alors $\cal V$ ? \item En observant que, pour $x$ variant de 0 à 10, la représentation graphique de $\cal V$ est une partie de $(d)$ et que celle de ${\cal V}'$ est une partie de $(d')$, retrouver ainsi graphiquement la valeur de pour laquelle ${\cal V}={\cal V}'$. \end{myenumerate}